Theorem zorn 4777

Description: Zorn's Lemma. If the union of every chain (with respect to inclusion) in a set belongs to the set, then the set contains a maximal element. This theorem is equivalent to the Axiom of Choice. Theorem 6M of [Enderton] p. 151. See zorn2 4776 for a version with general partial orderings.

Hypothesis

Ref	Expression
zorn2.1	⊢ A ∈ V

Assertion

Ref	Expression
zorn	⊢ (∀z((z ⊆ A ⋀ ∀x ∈ z ∀y ∈ z (x ⊆ y ⋁ y ⊆ x)) → ∪z ∈ A) → ∃x ∈ A ∀y ∈ A ¬ x ⊂ y)

Distinct variable group:   x,y,z,A

Proof of Theorem zorn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-so 2845	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨w, v⟩∣w ⊂ v} Or z ↔ ({⟨w, v⟩∣w ⊂ v} Po z ⋀ ∀x ∈ z ∀y ∈ z (x{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}y ⋁ x = y ⋁ y{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x)))
2	1	pm3.27bi 326	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨w, v⟩∣w ⊂ v} Or z → ∀x ∈ z ∀y ∈ z (x{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}y ⋁ x = y ⋁ y{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x))
3		zornlem 4775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}y ↔ x ⊂ y)
4		pm4.2 170	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = y ↔ x = y)
5		zornlem 4775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x ↔ y ⊂ x)
6	3, 4, 5	3orbi123i 822	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}y ⋁ x = y ⋁ y{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x) ↔ (x ⊂ y ⋁ x = y ⋁ y ⊂ x))
7		sspsstri 2144	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ⊆ y ⋁ y ⊆ x) ↔ (x ⊂ y ⋁ x = y ⋁ y ⊂ x))
8	6, 7	bitr4 176	. . . . . . . 8 ⊢ ((x{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}y ⋁ x = y ⋁ y{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x) ↔ (x ⊆ y ⋁ y ⊆ x))
9	8	2ralbii 1666	. . . . . . 7 ⊢ (∀x ∈ z ∀y ∈ z (x{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}y ⋁ x = y ⋁ y{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x) ↔ ∀x ∈ z ∀y ∈ z (x ⊆ y ⋁ y ⊆ x))
10	2, 9	sylib 198	. . . . . 6 ⊢ ({⟨w, v⟩∣w ⊂ v} Or z → ∀x ∈ z ∀y ∈ z (x ⊆ y ⋁ y ⊆ x))
11	10	anim2i 335	. . . . 5 ⊢ ((z ⊆ A ⋀ {⟨w, v⟩∣w ⊂ v} Or z) → (z ⊆ A ⋀ ∀x ∈ z ∀y ∈ z (x ⊆ y ⋁ y ⊆ x)))
12		risset 1682	. . . . . 6 ⊢ (∪z ∈ A ↔ ∃x ∈ A x = ∪z)
13		eqimss2 2106	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = ∪z → ∪z ⊆ x)
14		unissb 2523	. . . . . . . . 9 ⊢ (∪z ⊆ x ↔ ∀u ∈ z u ⊆ x)
15	13, 14	sylib 198	. . . . . . . 8 ⊢ (x = ∪z → ∀u ∈ z u ⊆ x)
16		zornlem 4775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x ↔ u ⊂ x)
17	16	orbi1i 256	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x ⋁ u = x) ↔ (u ⊂ x ⋁ u = x))
18		sspss 2141	. . . . . . . . . 10 ⊢ (u ⊆ x ↔ (u ⊂ x ⋁ u = x))
19	17, 18	bitr4 176	. . . . . . . . 9 ⊢ ((u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x ⋁ u = x) ↔ u ⊆ x)
20	19	ralbii 1664	. . . . . . . 8 ⊢ (∀u ∈ z (u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x ⋁ u = x) ↔ ∀u ∈ z u ⊆ x)
21	15, 20	sylibr 200	. . . . . . 7 ⊢ (x = ∪z → ∀u ∈ z (u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x ⋁ u = x))
22	21	r19.22si 1731	. . . . . 6 ⊢ (∃x ∈ A x = ∪z → ∃x ∈ A ∀u ∈ z (u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x ⋁ u = x))
23	12, 22	sylbi 199	. . . . 5 ⊢ (∪z ∈ A → ∃x ∈ A ∀u ∈ z (u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x ⋁ u = x))
24	11, 23	imim12i 18	. . . 4 ⊢ (((z ⊆ A ⋀ ∀x ∈ z ∀y ∈ z (x ⊆ y ⋁ y ⊆ x)) → ∪z ∈ A) → ((z ⊆ A ⋀ {⟨w, v⟩∣w ⊂ v} Or z) → ∃x ∈ A ∀u ∈ z (u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x ⋁ u = x)))
25	24	19.20i 990	. . 3 ⊢ (∀z((z ⊆ A ⋀ ∀x ∈ z ∀y ∈ z (x ⊆ y ⋁ y ⊆ x)) → ∪z ∈ A) → ∀z((z ⊆ A ⋀ {⟨w, v⟩∣w ⊂ v} Or z) → ∃x ∈ A ∀u ∈ z (u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x ⋁ u = x)))
26		pssirr 2142	. . . . . . . . 9 ⊢ ¬ u ⊂ u
27		zornlem 4775	. . . . . . . . 9 ⊢ (u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}u ↔ u ⊂ u)
28	26, 27	mtbir 192	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}u
29		psstr 2146	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((u ⊂ y ⋀ y ⊂ x) → u ⊂ x)
30	29, 16	sylibr 200	. . . . . . . . 9 ⊢ ((u ⊂ y ⋀ y ⊂ x) → u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x)
31		zornlem 4775	. . . . . . . . 9 ⊢ (u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}y ↔ u ⊂ y)
32	30, 31, 5	syl2anb 455	. . . . . . . 8 ⊢ ((u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}y ⋀ y{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x) → u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x)
33	28, 32	pm3.2i 285	. . . . . . 7 ⊢ (¬ u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}u ⋀ ((u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}y ⋀ y{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x) → u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x))
34	33	a1i 8	. . . . . 6 ⊢ ((u ∈ A ⋀ y ∈ A ⋀ x ∈ A) → (¬ u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}u ⋀ ((u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}y ⋀ y{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x) → u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x)))
35	34	rgen3 1721	. . . . 5 ⊢ ∀u ∈ A ∀y ∈ A ∀x ∈ A (¬ u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}u ⋀ ((u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}y ⋀ y{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x) → u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x))
36		df-po 2835	. . . . 5 ⊢ ({⟨w, v⟩∣w ⊂ v} Po A ↔ ∀u ∈ A ∀y ∈ A ∀x ∈ A (¬ u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}u ⋀ ((u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}y ⋀ y{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x) → u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x)))
37	35, 36	mpbir 190	. . . 4 ⊢ {⟨w, v⟩∣w ⊂ v} Po A
38		zorn2.1	. . . . 5 ⊢ A ∈ V
39	38	zorn2 4776	. . . 4 ⊢ (({⟨w, v⟩∣w ⊂ v} Po A ⋀ ∀z((z ⊆ A ⋀ {⟨w, v⟩∣w ⊂ v} Or z) → ∃x ∈ A ∀u ∈ z (u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x ⋁ u = x))) → ∃x ∈ A ∀y ∈ A ¬ x{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}y)
40	37, 39	mpan 694	. . 3 ⊢ (∀z((z ⊆ A ⋀ {⟨w, v⟩∣w ⊂ v} Or z) → ∃x ∈ A ∀u ∈ z (u{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}x ⋁ u = x)) → ∃x ∈ A ∀y ∈ A ¬ x{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}y)
41	25, 40	syl 10	. 2 ⊢ (∀z((z ⊆ A ⋀ ∀x ∈ z ∀y ∈ z (x ⊆ y ⋁ y ⊆ x)) → ∪z ∈ A) → ∃x ∈ A ∀y ∈ A ¬ x{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}y)
42	3	negbii 187	. . . 4 ⊢ (¬ x{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}y ↔ ¬ x ⊂ y)
43	42	ralbii 1664	. . 3 ⊢ (∀y ∈ A ¬ x{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}y ↔ ∀y ∈ A ¬ x ⊂ y)
44	43	rexbii 1665	. 2 ⊢ (∃x ∈ A ∀y ∈ A ¬ x{⟨w, v⟩∣w ⊂ v}y ↔ ∃x ∈ A ∀y ∈ A ¬ x ⊂ y)
45	41, 44	sylib 198	1 ⊢ (∀z((z ⊆ A ⋀ ∀x ∈ z ∀y ∈ z (x ⊆ y ⋁ y ⊆ x)) → ∪z ∈ A) → ∃x ∈ A ∀y ∈ A ¬ x ⊂ y)

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ⋁ wo 222   ⋀ wa 223   ⋁ w3o 773   ⋀ w3a 774  ∀wal 952   = wceq 954   ∈ wcel 956  ∀wral 1642  ∃wrex 1643  Vcvv 1807   ⊆ wss 2043   ⊂ wpss 2044  ∪cuni 2498   class class class wbr 2614  {copab 2661   Po wpo 2833   Or wor 2834

This theorem is referenced by:  infxpidmlem9 7511

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-ac 4724

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-suc 2949  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-iso 3194

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