Theorem sqrgt0i 6635

Description: The square root of a positive real is positive.

Hypotheses

Ref	Expression
sqrlem1.1	⊢ A ∈ ℝ
sqrlem1.2	⊢ 0 < A

Assertion

Ref	Expression
sqrgt0i	⊢ 0 < (√ ‘A)

Proof of Theorem sqrgt0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqrlem1.1	. 2 ⊢ A ∈ ℝ
2		sqrlem1.2	. 2 ⊢ 0 < A
3		breq2 2618	. . . 4 ⊢ (x = y → (0 ≤ x ↔ 0 ≤ y))
4		opreq12 3961	. . . . . 6 ⊢ ((x = y ⋀ x = y) → (x · x) = (y · y))
5	4	anidms 434	. . . . 5 ⊢ (x = y → (x · x) = (y · y))
6	5	breq1d 2624	. . . 4 ⊢ (x = y → ((x · x) ≤ A ↔ (y · y) ≤ A))
7	3, 6	anbi12d 627	. . 3 ⊢ (x = y → ((0 ≤ x ⋀ (x · x) ≤ A) ↔ (0 ≤ y ⋀ (y · y) ≤ A)))
8	7	cbvrabv 1907	. 2 ⊢ {x ∈ ℝ∣(0 ≤ x ⋀ (x · x) ≤ A)} = {y ∈ ℝ∣(0 ≤ y ⋀ (y · y) ≤ A)}
9		0re 5420	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
10	9, 1, 2	ltlei 5562	. . 3 ⊢ 0 ≤ A
11		sqrval 6609	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ 0 ≤ A) → (√ ‘A) = sup({x ∈ ℝ∣(0 ≤ x ⋀ (x · x) ≤ A)}, ℝ, < ))
12	1, 10, 11	mp2an 696	. 2 ⊢ (√ ‘A) = sup({x ∈ ℝ∣(0 ≤ x ⋀ (x · x) ≤ A)}, ℝ, < )
13	1, 2, 8, 12	sqrlem8 6618	1 ⊢ 0 < (√ ‘A)

Syntax hints:   ⋀ wa 223   = wceq 954   ∈ wcel 956  {crab 1645   class class class wbr 2614   ‘cfv 3177  (class class class)co 3954  supcsup 4553  ℝcr 5213  0cc0 5214   · cmul 5219   ≤ cle 5275   < clt 5466  √csqr 6607

This theorem is referenced by:  sqrgt0 6639  sqr2irr 6667

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-sqr 6608

Copyright terms: Public domain