Theorem sqr2irrlem3 6664

Description: Main theorem for irrationality of square root of 2. There are no natural numbers such that the square of one is twice the square of the other. Uses strong induction.

Assertion

Ref	Expression
sqr2irrlem3	⊢ ¬ ∃x ∈ ℕ ∃y ∈ ℕ (x↑2) = (2 · (y↑2))

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem sqr2irrlem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq1 3959	. . . . . . . 8 ⊢ (x = z → (x↑2) = (z↑2))
2	1	eqeq1d 1480	. . . . . . 7 ⊢ (x = z → ((x↑2) = (2 · (y↑2)) ↔ (z↑2) = (2 · (y↑2))))
3	2	negbid 610	. . . . . 6 ⊢ (x = z → (¬ (x↑2) = (2 · (y↑2)) ↔ ¬ (z↑2) = (2 · (y↑2))))
4	3	ralbidv 1660	. . . . 5 ⊢ (x = z → (∀y ∈ ℕ ¬ (x↑2) = (2 · (y↑2)) ↔ ∀y ∈ ℕ ¬ (z↑2) = (2 · (y↑2))))
5		opreq1 3959	. . . . . . . . 9 ⊢ (y = w → (y↑2) = (w↑2))
6	5	opreq2d 3967	. . . . . . . 8 ⊢ (y = w → (2 · (y↑2)) = (2 · (w↑2)))
7	6	eqeq2d 1483	. . . . . . 7 ⊢ (y = w → ((z↑2) = (2 · (y↑2)) ↔ (z↑2) = (2 · (w↑2))))
8	7	negbid 610	. . . . . 6 ⊢ (y = w → (¬ (z↑2) = (2 · (y↑2)) ↔ ¬ (z↑2) = (2 · (w↑2))))
9	8	cbvralv 1796	. . . . 5 ⊢ (∀y ∈ ℕ ¬ (z↑2) = (2 · (y↑2)) ↔ ∀w ∈ ℕ ¬ (z↑2) = (2 · (w↑2)))
10	4, 9	syl6bb 535	. . . 4 ⊢ (x = z → (∀y ∈ ℕ ¬ (x↑2) = (2 · (y↑2)) ↔ ∀w ∈ ℕ ¬ (z↑2) = (2 · (w↑2))))
11		breq1 2617	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (z = y → (z < x ↔ y < x))
12		opreq1 3959	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (z = y → (z↑2) = (y↑2))
13	12	eqeq1d 1480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (z = y → ((z↑2) = (2 · (w↑2)) ↔ (y↑2) = (2 · (w↑2))))
14	13	negbid 610	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (z = y → (¬ (z↑2) = (2 · (w↑2)) ↔ ¬ (y↑2) = (2 · (w↑2))))
15	14	ralbidv 1660	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (z = y → (∀w ∈ ℕ ¬ (z↑2) = (2 · (w↑2)) ↔ ∀w ∈ ℕ ¬ (y↑2) = (2 · (w↑2))))
16	11, 15	imbi12d 625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (z = y → ((z < x → ∀w ∈ ℕ ¬ (z↑2) = (2 · (w↑2))) ↔ (y < x → ∀w ∈ ℕ ¬ (y↑2) = (2 · (w↑2)))))
17	16	rcla4cva 1872	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀z ∈ ℕ (z < x → ∀w ∈ ℕ ¬ (z↑2) = (2 · (w↑2))) ⋀ y ∈ ℕ) → (y < x → ∀w ∈ ℕ ¬ (y↑2) = (2 · (w↑2))))
18		opreq1 3959	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (w = (x / 2) → (w↑2) = ((x / 2)↑2))
19	18	opreq2d 3967	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (w = (x / 2) → (2 · (w↑2)) = (2 · ((x / 2)↑2)))
20	19	eqeq2d 1483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (w = (x / 2) → ((y↑2) = (2 · (w↑2)) ↔ (y↑2) = (2 · ((x / 2)↑2))))
21	20	negbid 610	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (w = (x / 2) → (¬ (y↑2) = (2 · (w↑2)) ↔ ¬ (y↑2) = (2 · ((x / 2)↑2))))
22	21	rcla4cv 1870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀w ∈ ℕ ¬ (y↑2) = (2 · (w↑2)) → ((x / 2) ∈ ℕ → ¬ (y↑2) = (2 · ((x / 2)↑2))))
23	17, 22	syl6 22	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀z ∈ ℕ (z < x → ∀w ∈ ℕ ¬ (z↑2) = (2 · (w↑2))) ⋀ y ∈ ℕ) → (y < x → ((x / 2) ∈ ℕ → ¬ (y↑2) = (2 · ((x / 2)↑2)))))
24	23	imp3a 361	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∀z ∈ ℕ (z < x → ∀w ∈ ℕ ¬ (z↑2) = (2 · (w↑2))) ⋀ y ∈ ℕ) → ((y < x ⋀ (x / 2) ∈ ℕ) → ¬ (y↑2) = (2 · ((x / 2)↑2))))
25		imnan 242	. . . . . . . . 9 ⊢ (((y < x ⋀ (x / 2) ∈ ℕ) → ¬ (y↑2) = (2 · ((x / 2)↑2))) ↔ ¬ ((y < x ⋀ (x / 2) ∈ ℕ) ⋀ (y↑2) = (2 · ((x / 2)↑2))))
26	24, 25	sylib 198	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀z ∈ ℕ (z < x → ∀w ∈ ℕ ¬ (z↑2) = (2 · (w↑2))) ⋀ y ∈ ℕ) → ¬ ((y < x ⋀ (x / 2) ∈ ℕ) ⋀ (y↑2) = (2 · ((x / 2)↑2))))
27	26	adantll 392	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ ℕ ⋀ ∀z ∈ ℕ (z < x → ∀w ∈ ℕ ¬ (z↑2) = (2 · (w↑2)))) ⋀ y ∈ ℕ) → ¬ ((y < x ⋀ (x / 2) ∈ ℕ) ⋀ (y↑2) = (2 · ((x / 2)↑2))))
28		sqr2irrlem2 6663	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ ℕ ⋀ y ∈ ℕ) → ((x↑2) = (2 · (y↑2)) → ((y < x ⋀ (x / 2) ∈ ℕ) ⋀ (y↑2) = (2 · ((x / 2)↑2)))))
29	28	adantlr 393	. . . . . . 7 ⊢ (((x ∈ ℕ ⋀ ∀z ∈ ℕ (z < x → ∀w ∈ ℕ ¬ (z↑2) = (2 · (w↑2)))) ⋀ y ∈ ℕ) → ((x↑2) = (2 · (y↑2)) → ((y < x ⋀ (x / 2) ∈ ℕ) ⋀ (y↑2) = (2 · ((x / 2)↑2)))))
30	27, 29	mtod 108	. . . . . 6 ⊢ (((x ∈ ℕ ⋀ ∀z ∈ ℕ (z < x → ∀w ∈ ℕ ¬ (z↑2) = (2 · (w↑2)))) ⋀ y ∈ ℕ) → ¬ (x↑2) = (2 · (y↑2)))
31	30	exp31 376	. . . . 5 ⊢ (x ∈ ℕ → (∀z ∈ ℕ (z < x → ∀w ∈ ℕ ¬ (z↑2) = (2 · (w↑2))) → (y ∈ ℕ → ¬ (x↑2) = (2 · (y↑2)))))
32	31	r19.21adv 1715	. . . 4 ⊢ (x ∈ ℕ → (∀z ∈ ℕ (z < x → ∀w ∈ ℕ ¬ (z↑2) = (2 · (w↑2))) → ∀y ∈ ℕ ¬ (x↑2) = (2 · (y↑2))))
33	10, 32	indstr 6401	. . 3 ⊢ (x ∈ ℕ → ∀y ∈ ℕ ¬ (x↑2) = (2 · (y↑2)))
34		ralnex 1650	. . 3 ⊢ (∀y ∈ ℕ ¬ (x↑2) = (2 · (y↑2)) ↔ ¬ ∃y ∈ ℕ (x↑2) = (2 · (y↑2)))
35	33, 34	sylib 198	. 2 ⊢ (x ∈ ℕ → ¬ ∃y ∈ ℕ (x↑2) = (2 · (y↑2)))
36	35	nrex 1726	1 ⊢ ¬ ∃x ∈ ℕ ∃y ∈ ℕ (x↑2) = (2 · (y↑2))

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 954   ∈ wcel 956  ∀wral 1642  ∃wrex 1643   class class class wbr 2614  (class class class)co 3954   · cmul 5219   / cdiv 5274  ℕcn 5276   < clt 5466  2c2 5916  ↑cexp 6508

This theorem is referenced by:  sqr2irr 6667

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-n0 6055  df-z 6091  df-seq1 6253  df-uz 6358  df-exp 6509

Copyright terms: Public domain