Theorem sqr2irr 6610

Description: The square root of 2 is irrational.

Assertion

Ref	Expression
sqr2irr	⊢ (√ ‘2) ∉ ℚ

Proof of Theorem sqr2irr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sqr2irrlem3 6607	. . . . 5 ⊢ ¬ ∃x ∈ ℕ ∃y ∈ ℕ (x↑2) = (2 · (y↑2))
2		sqr2irrlem5 6609	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ ℕ ⋀ y ∈ ℕ) → ((√ ‘2) = (x / y) ↔ (x↑2) = (2 · (y↑2))))
3	2	2rexbiia 1651	. . . . 5 ⊢ (∃x ∈ ℕ ∃y ∈ ℕ (√ ‘2) = (x / y) ↔ ∃x ∈ ℕ ∃y ∈ ℕ (x↑2) = (2 · (y↑2)))
4	1, 3	mtbir 192	. . . 4 ⊢ ¬ ∃x ∈ ℕ ∃y ∈ ℕ (√ ‘2) = (x / y)
5		nngt0t 5845	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y ∈ ℕ → 0 < y)
6	5	adantr 389	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((y ∈ ℕ ⋀ x ∈ ℤ) → 0 < y)
7		0re 5363	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ
8		ltmuldivt 5768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((0 ∈ ℝ ⋀ y ∈ ℝ ⋀ x ∈ ℝ) ⋀ 0 < y) → ((0 · y) < x ↔ 0 < (x / y)))
9	8	ex 373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((0 ∈ ℝ ⋀ y ∈ ℝ ⋀ x ∈ ℝ) → (0 < y → ((0 · y) < x ↔ 0 < (x / y))))
10	7, 9	mp3an1 899	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((y ∈ ℝ ⋀ x ∈ ℝ) → (0 < y → ((0 · y) < x ↔ 0 < (x / y))))
11		nnret 5828	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y ∈ ℕ → y ∈ ℝ)
12		zret 6037	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (x ∈ ℤ → x ∈ ℝ)
13	10, 11, 12	syl2an 454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((y ∈ ℕ ⋀ x ∈ ℤ) → (0 < y → ((0 · y) < x ↔ 0 < (x / y))))
14	6, 13	mpd 26	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((y ∈ ℕ ⋀ x ∈ ℤ) → ((0 · y) < x ↔ 0 < (x / y)))
15	14	ancoms 436	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((x ∈ ℤ ⋀ y ∈ ℕ) → ((0 · y) < x ↔ 0 < (x / y)))
16		2re 5877	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
17		2pos 5887	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 2
18	16, 17	sqrgt0i 6578	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 < (√ ‘2)
19		breq2 2591	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((√ ‘2) = (x / y) → (0 < (√ ‘2) ↔ 0 < (x / y)))
20	18, 19	mpbii 193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((√ ‘2) = (x / y) → 0 < (x / y))
21	15, 20	syl5bir 210	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((x ∈ ℤ ⋀ y ∈ ℕ) → ((√ ‘2) = (x / y) → (0 · y) < x))
22		nncnt 5829	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (y ∈ ℕ → y ∈ ℂ)
23		mul02t 5367	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (y ∈ ℂ → (0 · y) = 0)
24	22, 23	syl 10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y ∈ ℕ → (0 · y) = 0)
25	24	breq1d 2597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y ∈ ℕ → ((0 · y) < x ↔ 0 < x))
26	25	adantl 388	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((x ∈ ℤ ⋀ y ∈ ℕ) → ((0 · y) < x ↔ 0 < x))
27	21, 26	sylibd 202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ∈ ℤ ⋀ y ∈ ℕ) → ((√ ‘2) = (x / y) → 0 < x))
28	27	r19.23adva 1723	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ ℤ → (∃y ∈ ℕ (√ ‘2) = (x / y) → 0 < x))
29	28	anc2li 302	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ ℤ → (∃y ∈ ℕ (√ ‘2) = (x / y) → (x ∈ ℤ ⋀ 0 < x)))
30		elnnz 6043	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ ℕ ↔ (x ∈ ℤ ⋀ 0 < x))
31	29, 30	syl6ibr 213	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ ℤ → (∃y ∈ ℕ (√ ‘2) = (x / y) → x ∈ ℕ))
32	31	impac 387	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ ℤ ⋀ ∃y ∈ ℕ (√ ‘2) = (x / y)) → (x ∈ ℕ ⋀ ∃y ∈ ℕ (√ ‘2) = (x / y)))
33	32	r19.22i2 1709	. . . 4 ⊢ (∃x ∈ ℤ ∃y ∈ ℕ (√ ‘2) = (x / y) → ∃x ∈ ℕ ∃y ∈ ℕ (√ ‘2) = (x / y))
34	4, 33	mto 106	. . 3 ⊢ ¬ ∃x ∈ ℤ ∃y ∈ ℕ (√ ‘2) = (x / y)
35		elq 6146	. . 3 ⊢ ((√ ‘2) ∈ ℚ ↔ ∃x ∈ ℤ ∃y ∈ ℕ (√ ‘2) = (x / y))
36	34, 35	mtbir 192	. 2 ⊢ ¬ (√ ‘2) ∈ ℚ
37		df-nel 1564	. 2 ⊢ ((√ ‘2) ∉ ℚ ↔ ¬ (√ ‘2) ∈ ℚ)
38	36, 37	mpbir 190	1 ⊢ (√ ‘2) ∉ ℚ

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 772   = wceq 1099   ∈ wcel 1105   ∉ wnel 1562  ∃wrex 1622   class class class wbr 2587   ‘cfv 3145  (class class class)co 3902  ℂcc 5155  ℝcr 5156  0cc0 5157   · cmul 5162   / cdiv 5217  ℕcn 5219  ℤcz 5221  ℚcq 5222   < clt 5409  2c2 5859  ↑cexp 6451  √csqr 6550

This theorem is referenced by:  nthruc 6627

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-4 951  ax-5 952  ax-6 953  ax-7 954  ax-gen 955  ax-8 1101  ax-9 1102  ax-10 1103  ax-12 1104  ax-13 1107  ax-14 1108  ax-11 1180  ax-17 1190  ax-16 1194  ax-11o 1202  ax-ext 1436  ax-rep 2661  ax-sep 2671  ax-nul 2678  ax-pow 2710  ax-pr 2747  ax-un 2830  ax-inf2 4549

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 773  df-3an 774  df-ex 957  df-sb 1155  df-eu 1359  df-mo 1360  df-clab 1441  df-cleq 1446  df-clel 1449  df-ne 1563  df-nel 1564  df-ral 1625  df-rex 1626  df-reu 1627  df-rab 1628  df-v 1787  df-sbc 1913  df-csb 1973  df-dif 2020  df-un 2021  df-in 2022  df-ss 2024  df-pss 2026  df-nul 2252  df-if 2333  df-pw 2373  df-sn 2383  df-pr 2384  df-tp 2386  df-op 2387  df-uni 2472  df-int 2502  df-iun 2536  df-br 2588  df-opab 2635  df-tr 2649  df-eprel 2794  df-id 2797  df-po 2804  df-so 2814  df-fr 2880  df-we 2897  df-ord 2914  df-on 2915  df-lim 2916  df-suc 2917  df-om 3095  df-xp 3147  df-rel 3148  df-cnv 3149  df-co 3150  df-dm 3151  df-rn 3152  df-res 3153  df-ima 3154  df-fun 3155  df-fn 3156  df-f 3157  df-f1 3158  df-fo 3159  df-f1o 3160  df-fv 3161  df-rdg 3871  df-opr 3904  df-oprab 3905  df-1st 4017  df-2nd 4018  df-1o 4071  df-oadd 4073  df-omul 4074  df-er 4199  df-ec 4201  df-qs 4204  df-en 4305  df-dom 4306  df-sdom 4307  df-sup 4500  df-ni 4923  df-pli 4924  df-mi 4925  df-lti 4926  df-plpq 4958  df-mpq 4959  df-enq 4960  df-nq 4961  df-plq 4962  df-mq 4963  df-rq 4964  df-ltq 4965  df-1q 4966  df-np 5009  df-1p 5010  df-plp 5011  df-mp 5012  df-ltp 5013  df-plpr 5087  df-mpr 5088  df-enr 5089  df-nr 5090  df-plr 5091  df-mr 5092  df-ltr 5093  df-0r 5094  df-1r 5095  df-m1r 5096  df-c 5163  df-0 5164  df-1 5165  df-i 5166  df-r 5167  df-plus 5168  df-mul 5169  df-lt 5170  df-sub 5279  df-neg 5281  df-pnf 5410  df-mnf 5411  df-xr 5412  df-ltxr 5413  df-le 5414  df-div 5623  df-n 5824  df-2 5868  df-n0 5998  df-z 6034  df-q 6145  df-seq1 6196  df-uz 6301  df-exp 6452  df-sqr 6551

Copyright terms: Public domain