Theorem sin2tt 7476

Description: Double-angle formula for sine. (Contributed by Paul Chapman, 17-Jan-2008.)

Assertion

Ref	Expression
sin2tt	⊢ (A ∈ ℂ → (sin ‘(2 · A)) = (2 · ((sin ‘A) · (cos ‘A))))

Proof of Theorem sin2tt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2timest 6010	. . 3 ⊢ (A ∈ ℂ → (2 · A) = (A + A))
2	1	fveq2d 3742	. 2 ⊢ (A ∈ ℂ → (sin ‘(2 · A)) = (sin ‘(A + A)))
3		axmulcom 5289	. . . . 5 ⊢ (((cos ‘A) ∈ ℂ ⋀ (sin ‘A) ∈ ℂ) → ((cos ‘A) · (sin ‘A)) = ((sin ‘A) · (cos ‘A)))
4		cosclt 7446	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℂ → (cos ‘A) ∈ ℂ)
5		sinclt 7445	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℂ → (sin ‘A) ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	sylanc 474	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℂ → ((cos ‘A) · (sin ‘A)) = ((sin ‘A) · (cos ‘A)))
7	6	opreq2d 3990	. . 3 ⊢ (A ∈ ℂ → (((sin ‘A) · (cos ‘A)) + ((cos ‘A) · (sin ‘A))) = (((sin ‘A) · (cos ‘A)) + ((sin ‘A) · (cos ‘A))))
8		sinaddt 7467	. . . 4 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ A ∈ ℂ) → (sin ‘(A + A)) = (((sin ‘A) · (cos ‘A)) + ((cos ‘A) · (sin ‘A))))
9	8	anidms 437	. . 3 ⊢ (A ∈ ℂ → (sin ‘(A + A)) = (((sin ‘A) · (cos ‘A)) + ((cos ‘A) · (sin ‘A))))
10		axmulcl 5286	. . . . 5 ⊢ (((sin ‘A) ∈ ℂ ⋀ (cos ‘A) ∈ ℂ) → ((sin ‘A) · (cos ‘A)) ∈ ℂ)
11	10, 5, 4	sylanc 474	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℂ → ((sin ‘A) · (cos ‘A)) ∈ ℂ)
12		2timest 6010	. . . 4 ⊢ (((sin ‘A) · (cos ‘A)) ∈ ℂ → (2 · ((sin ‘A) · (cos ‘A))) = (((sin ‘A) · (cos ‘A)) + ((sin ‘A) · (cos ‘A))))
13	11, 12	syl 10	. . 3 ⊢ (A ∈ ℂ → (2 · ((sin ‘A) · (cos ‘A))) = (((sin ‘A) · (cos ‘A)) + ((sin ‘A) · (cos ‘A))))
14	7, 9, 13	3eqtr4d 1524	. 2 ⊢ (A ∈ ℂ → (sin ‘(A + A)) = (2 · ((sin ‘A) · (cos ‘A))))
15	2, 14	eqtrd 1514	1 ⊢ (A ∈ ℂ → (sin ‘(2 · A)) = (2 · ((sin ‘A) · (cos ‘A))))

Syntax hints:   → wi 3   = wceq 960   ∈ wcel 962   ‘cfv 3196  (class class class)co 3977  ℂcc 5245   + caddc 5250   · cmul 5252  2c2 5967  sincsin 7309  cosccos 7310

This theorem is referenced by:  sin02gt0 7493  sin4lt0 7496  sinhalfpilem 8686  sin2pi 8691  sinq12gt0t 8715  sincos4thpi 8717  sincos6thpi 8718

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1129  ax-10o 1146  ax-16 1216  ax-11o 1224  ax-ext 1466  ax-rep 2706  ax-sep 2716  ax-nul 2723  ax-pow 2756  ax-pr 2793  ax-un 2880  ax-inf2 4637

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 780  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1178  df-eu 1388  df-mo 1389  df-clab 1471  df-cleq 1476  df-clel 1479  df-ne 1594  df-nel 1595  df-ral 1656  df-rex 1657  df-reu 1658  df-rab 1659  df-v 1819  df-sbc 1949  df-csb 2010  df-dif 2058  df-un 2059  df-in 2060  df-ss 2062  df-pss 2064  df-nul 2290  df-if 2372  df-pw 2412  df-sn 2422  df-pr 2423  df-tp 2425  df-op 2426  df-uni 2516  df-int 2546  df-iun 2580  df-br 2633  df-opab 2680  df-tr 2694  df-eprel 2846  df-id 2849  df-po 2854  df-so 2864  df-fr 2931  df-we 2948  df-ord 2965  df-on 2966  df-lim 2967  df-suc 2968  df-om 3146  df-xp 3198  df-rel 3199  df-cnv 3200  df-co 3201  df-dm 3202  df-rn 3203  df-res 3204  df-ima 3205  df-fun 3206  df-fn 3207  df-f 3208  df-f1 3209  df-fo 3210  df-f1o 3211  df-fv 3212  df-rdg 3946  df-opr 3979  df-oprab 3980  df-1st 4093  df-2nd 4094  df-1o 4147  df-oadd 4149  df-omul 4150  df-er 4275  df-ec 4277  df-qs 4280  df-en 4382  df-dom 4383  df-sdom 4384  df-sup 4584  df-ni 5013  df-pli 5014  df-mi 5015  df-lti 5016  df-plpq 5048  df-mpq 5049  df-enq 5050  df-nq 5051  df-plq 5052  df-mq 5053  df-rq 5054  df-ltq 5055  df-1q 5056  df-np 5099  df-1p 5100  df-plp 5101  df-mp 5102  df-ltp 5103  df-plpr 5177  df-mpr 5178  df-enr 5179  df-nr 5180  df-plr 5181  df-mr 5182  df-ltr 5183  df-0r 5184  df-1r 5185  df-m1r 5186  df-c 5253  df-0 5254  df-1 5255  df-i 5256  df-r 5257  df-plus 5258  df-mul 5259  df-lt 5260  df-sub 5369  df-neg 5371  df-pnf 5500  df-mnf 5501  df-xr 5502  df-ltxr 5503  df-le 5504  df-div 5716  df-n 5931  df-2 5976  df-3 5977  df-4 5978  df-n0 6106  df-z 6142  df-fl 6233  df-uz 6368  df-fz 6418  df-seq1 6491  df-shft 6524  df-seqz 6546  df-seq0 6547  df-exp 6582  df-sqr 6684  df-re 6765  df-im 6766  df-cj 6767  df-abs 6768  df-fac 6946  df-bc 6971  df-clim 6989  df-sum 6994  df-ef 7312  df-sin 7314  df-cos 7315

Copyright terms: Public domain