Theorem reefcl 7331

Description: Closure law for the exponential function with a real argument.

Hypothesis

Ref	Expression
reefcl.1	⊢ A ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
reefcl	⊢ (exp ‘A) ∈ ℝ

Proof of Theorem reefcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reefcl.1	. . . . 5 ⊢ A ∈ ℝ
2	1	recn 5327	. . . 4 ⊢ A ∈ ℂ
3		efvalt 7322	. . . 4 ⊢ (A ∈ ℂ → (exp ‘A) = Σk ∈ ℕ0 ((A↑k) / (! ‘k)))
4	2, 3	ax-mp 7	. . 3 ⊢ (exp ‘A) = Σk ∈ ℕ0 ((A↑k) / (! ‘k))
5		eqid 1482	. . . . 5 ⊢ {⟨j, y⟩∣(j ∈ ℕ0 ⋀ y = ((A↑j) / (! ‘j)))} = {⟨j, y⟩∣(j ∈ ℕ0 ⋀ y = ((A↑j) / (! ‘j)))}
6	5	eftval 7330	. . . 4 ⊢ (k ∈ ℕ0 → ({⟨j, y⟩∣(j ∈ ℕ0 ⋀ y = ((A↑j) / (! ‘j)))} ‘k) = ((A↑k) / (! ‘k)))
7	6	sumeq2i 7002	. . 3 ⊢ Σk ∈ ℕ0 ({⟨j, y⟩∣(j ∈ ℕ0 ⋀ y = ((A↑j) / (! ‘j)))} ‘k) = Σk ∈ ℕ0 ((A↑k) / (! ‘k))
8		nn0uz 6388	. . . 4 ⊢ ℕ0 = (ℤ≥ ‘0)
9	8	sumeq1i 7001	. . 3 ⊢ Σk ∈ ℕ0 ({⟨j, y⟩∣(j ∈ ℕ0 ⋀ y = ((A↑j) / (! ‘j)))} ‘k) = Σk ∈ (ℤ≥ ‘0)({⟨j, y⟩∣(j ∈ ℕ0 ⋀ y = ((A↑j) / (! ‘j)))} ‘k)
10	4, 7, 9	3eqtr2 1508	. 2 ⊢ (exp ‘A) = Σk ∈ (ℤ≥ ‘0)({⟨j, y⟩∣(j ∈ ℕ0 ⋀ y = ((A↑j) / (! ‘j)))} ‘k)
11		0z 6152	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
12		elnn0uz 6391	. . . . 5 ⊢ (k ∈ ℕ0 ↔ k ∈ (ℤ≥ ‘0))
13		redivclt 5804	. . . . . . 7 ⊢ (((A↑k) ∈ ℝ ⋀ (! ‘k) ∈ ℝ ⋀ (! ‘k) ≠ 0) → ((A↑k) / (! ‘k)) ∈ ℝ)
14		reexpclt 6593	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ k ∈ ℕ0) → (A↑k) ∈ ℝ)
15	1, 14	mpan 699	. . . . . . 7 ⊢ (k ∈ ℕ0 → (A↑k) ∈ ℝ)
16		facclt 6954	. . . . . . . 8 ⊢ (k ∈ ℕ0 → (! ‘k) ∈ ℕ)
17		nnret 5935	. . . . . . . 8 ⊢ ((! ‘k) ∈ ℕ → (! ‘k) ∈ ℝ)
18	16, 17	syl 10	. . . . . . 7 ⊢ (k ∈ ℕ0 → (! ‘k) ∈ ℝ)
19		facne0t 6955	. . . . . . 7 ⊢ (k ∈ ℕ0 → (! ‘k) ≠ 0)
20	13, 15, 18, 19	syl3anc 862	. . . . . 6 ⊢ (k ∈ ℕ0 → ((A↑k) / (! ‘k)) ∈ ℝ)
21	6, 20	eqeltrd 1555	. . . . 5 ⊢ (k ∈ ℕ0 → ({⟨j, y⟩∣(j ∈ ℕ0 ⋀ y = ((A↑j) / (! ‘j)))} ‘k) ∈ ℝ)
22	12, 21	sylbir 201	. . . 4 ⊢ (k ∈ (ℤ≥ ‘0) → ({⟨j, y⟩∣(j ∈ ℕ0 ⋀ y = ((A↑j) / (! ‘j)))} ‘k) ∈ ℝ)
23	22	rgen 1705	. . 3 ⊢ ∀k ∈ (ℤ≥ ‘0)({⟨j, y⟩∣(j ∈ ℕ0 ⋀ y = ((A↑j) / (! ‘j)))} ‘k) ∈ ℝ
24	5	efseq0ex 7325	. . . . 5 ⊢ (A ∈ ℂ → ∃x( + seq0{⟨j, y⟩∣(j ∈ ℕ0 ⋀ y = ((A↑j) / (! ‘j)))}) ⇝ x)
25	2, 24	ax-mp 7	. . . 4 ⊢ ∃x( + seq0{⟨j, y⟩∣(j ∈ ℕ0 ⋀ y = ((A↑j) / (! ‘j)))}) ⇝ x
26		addex 5330	. . . . . . 7 ⊢ + ∈ V
27		nn0ex 6111	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ0 ∈ V
28	27	opabex2 3624	. . . . . . 7 ⊢ {⟨j, y⟩∣(j ∈ ℕ0 ⋀ y = ((A↑j) / (! ‘j)))} ∈ V
29	26, 28	seq0seqz 6555	. . . . . 6 ⊢ ( + seq0{⟨j, y⟩∣(j ∈ ℕ0 ⋀ y = ((A↑j) / (! ‘j)))}) = (⟨0, + ⟩seq{⟨j, y⟩∣(j ∈ ℕ0 ⋀ y = ((A↑j) / (! ‘j)))})
30	29	breq1i 2639	. . . . 5 ⊢ (( + seq0{⟨j, y⟩∣(j ∈ ℕ0 ⋀ y = ((A↑j) / (! ‘j)))}) ⇝ x ↔ (⟨0, + ⟩seq{⟨j, y⟩∣(j ∈ ℕ0 ⋀ y = ((A↑j) / (! ‘j)))}) ⇝ x)
31	30	exbii 1057	. . . 4 ⊢ (∃x( + seq0{⟨j, y⟩∣(j ∈ ℕ0 ⋀ y = ((A↑j) / (! ‘j)))}) ⇝ x ↔ ∃x(⟨0, + ⟩seq{⟨j, y⟩∣(j ∈ ℕ0 ⋀ y = ((A↑j) / (! ‘j)))}) ⇝ x)
32	25, 31	mpbi 189	. . 3 ⊢ ∃x(⟨0, + ⟩seq{⟨j, y⟩∣(j ∈ ℕ0 ⋀ y = ((A↑j) / (! ‘j)))}) ⇝ x
33	28	isumreclt 7224	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ⋀ ∀k ∈ (ℤ≥ ‘0)({⟨j, y⟩∣(j ∈ ℕ0 ⋀ y = ((A↑j) / (! ‘j)))} ‘k) ∈ ℝ ⋀ ∃x(⟨0, + ⟩seq{⟨j, y⟩∣(j ∈ ℕ0 ⋀ y = ((A↑j) / (! ‘j)))}) ⇝ x) → Σk ∈ (ℤ≥ ‘0)({⟨j, y⟩∣(j ∈ ℕ0 ⋀ y = ((A↑j) / (! ‘j)))} ‘k) ∈ ℝ)
34	11, 23, 32, 33	mp3an 920	. 2 ⊢ Σk ∈ (ℤ≥ ‘0)({⟨j, y⟩∣(j ∈ ℕ0 ⋀ y = ((A↑j) / (! ‘j)))} ‘k) ∈ ℝ
35	10, 34	eqeltr 1551	1 ⊢ (exp ‘A) ∈ ℝ

Syntax hints:   ⋀ wa 223   = wceq 960   ∈ wcel 962  ∃wex 984   ≠ wne 1592  ∀wral 1652  ⟨cop 2421   class class class wbr 2632  {copab 2679   ‘cfv 3196  (class class class)co 3977  ℂcc 5245  ℝcr 5246  0cc0 5247   + caddc 5250   / cdiv 5307  ℕcn 5309  ℕ₀cn0 5310  ℤcz 5311  ℤ_≥cuz 6367  seqcseqz 6544  seq₀cseq0 6545  ↑cexp 6581  !cfa 6945   ⇝ cli 6988  Σcsu 6993  expce 7307

This theorem is referenced by:  reefclt 7332  ere 7344  efgt1 7417  efgt0 7418  eflt 7420  efltb 7421  reef11 7422  efm1legeo 7431  efcnlem2 7434  reeff1olem1 7438

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1129  ax-10o 1146  ax-16 1216  ax-11o 1224  ax-ext 1466  ax-rep 2706  ax-sep 2716  ax-nul 2723  ax-pow 2756  ax-pr 2793  ax-un 2880  ax-inf2 4637

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 780  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1178  df-eu 1388  df-mo 1389  df-clab 1471  df-cleq 1476  df-clel 1479  df-ne 1594  df-nel 1595  df-ral 1656  df-rex 1657  df-reu 1658  df-rab 1659  df-v 1819  df-sbc 1949  df-csb 2010  df-dif 2058  df-un 2059  df-in 2060  df-ss 2062  df-pss 2064  df-nul 2290  df-if 2372  df-pw 2412  df-sn 2422  df-pr 2423  df-tp 2425  df-op 2426  df-uni 2516  df-int 2546  df-iun 2580  df-br 2633  df-opab 2680  df-tr 2694  df-eprel 2846  df-id 2849  df-po 2854  df-so 2864  df-fr 2931  df-we 2948  df-ord 2965  df-on 2966  df-lim 2967  df-suc 2968  df-om 3146  df-xp 3198  df-rel 3199  df-cnv 3200  df-co 3201  df-dm 3202  df-rn 3203  df-res 3204  df-ima 3205  df-fun 3206  df-fn 3207  df-f 3208  df-f1 3209  df-fo 3210  df-f1o 3211  df-fv 3212  df-rdg 3946  df-opr 3979  df-oprab 3980  df-1st 4093  df-2nd 4094  df-1o 4147  df-oadd 4149  df-omul 4150  df-er 4275  df-ec 4277  df-qs 4280  df-en 4382  df-dom 4383  df-sdom 4384  df-sup 4584  df-ni 5013  df-pli 5014  df-mi 5015  df-lti 5016  df-plpq 5048  df-mpq 5049  df-enq 5050  df-nq 5051  df-plq 5052  df-mq 5053  df-rq 5054  df-ltq 5055  df-1q 5056  df-np 5099  df-1p 5100  df-plp 5101  df-mp 5102  df-ltp 5103  df-plpr 5177  df-mpr 5178  df-enr 5179  df-nr 5180  df-plr 5181  df-mr 5182  df-ltr 5183  df-0r 5184  df-1r 5185  df-m1r 5186  df-c 5253  df-0 5254  df-1 5255  df-i 5256  df-r 5257  df-plus 5258  df-mul 5259  df-lt 5260  df-sub 5369  df-neg 5371  df-pnf 5500  df-mnf 5501  df-xr 5502  df-ltxr 5503  df-le 5504  df-div 5716  df-n 5931  df-2 5976  df-n0 6106  df-z 6142  df-fl 6233  df-uz 6368  df-fz 6418  df-seq1 6491  df-shft 6524  df-seqz 6546  df-seq0 6547  df-exp 6582  df-sqr 6684  df-re 6765  df-im 6766  df-cj 6767  df-abs 6768  df-fac 6946  df-clim 6989  df-sum 6994  df-ef 7312

Copyright terms: Public domain