Theorem projlem4 9196

Description: Part of Lemma 3.6 of [Beran] p. 101, top. Used by projlem6 9198.

Hypotheses

Ref	Expression
projlem4.1	⊢ R ∈ ℝ
projlem4.2	⊢ 0 ≤ R
projlem4.3	⊢ D ∈ ℕ
projlem4.4	⊢ G ∈ ℕ
projlem4.5	⊢ B ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
projlem4	⊢ ((B ≤ D ⋀ B ≤ G) → (((4 · R) + 2) · ((1 / D) + (1 / G))) ≤ ((4 · ((2 · R) + 1)) / B))

Proof of Theorem projlem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		projlem4.3	. . . . . 6 ⊢ D ∈ ℕ
2	1	nnre 5937	. . . . 5 ⊢ D ∈ ℝ
3	1	nnne0 5957	. . . . 5 ⊢ D ≠ 0
4	2, 3	rereccl 5805	. . . 4 ⊢ (1 / D) ∈ ℝ
5		projlem4.4	. . . . . 6 ⊢ G ∈ ℕ
6	5	nnre 5937	. . . . 5 ⊢ G ∈ ℝ
7	5	nnne0 5957	. . . . 5 ⊢ G ≠ 0
8	6, 7	rereccl 5805	. . . 4 ⊢ (1 / G) ∈ ℝ
9		projlem4.5	. . . . . 6 ⊢ B ∈ ℕ
10	9	nnre 5937	. . . . 5 ⊢ B ∈ ℝ
11	9	nnne0 5957	. . . . 5 ⊢ B ≠ 0
12	10, 11	rereccl 5805	. . . 4 ⊢ (1 / B) ∈ ℝ
13	4, 8, 12, 12	le2add 5610	. . 3 ⊢ (((1 / D) ≤ (1 / B) ⋀ (1 / G) ≤ (1 / B)) → ((1 / D) + (1 / G)) ≤ ((1 / B) + (1 / B)))
14	9	nngt0 5956	. . . 4 ⊢ 0 < B
15	1	nngt0 5956	. . . 4 ⊢ 0 < D
16	10, 2	lerec 5886	. . . 4 ⊢ ((0 < B ⋀ 0 < D) → (B ≤ D ↔ (1 / D) ≤ (1 / B)))
17	14, 15, 16	mp2an 701	. . 3 ⊢ (B ≤ D ↔ (1 / D) ≤ (1 / B))
18	5	nngt0 5956	. . . 4 ⊢ 0 < G
19	10, 6	lerec 5886	. . . 4 ⊢ ((0 < B ⋀ 0 < G) → (B ≤ G ↔ (1 / G) ≤ (1 / B)))
20	14, 18, 19	mp2an 701	. . 3 ⊢ (B ≤ G ↔ (1 / G) ≤ (1 / B))
21	13, 17, 20	syl2anb 458	. 2 ⊢ ((B ≤ D ⋀ B ≤ G) → ((1 / D) + (1 / G)) ≤ ((1 / B) + (1 / B)))
22		2cn 5986	. . . . . . . . . 10 ⊢ 2 ∈ ℂ
23		2re 5985	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℝ
24		projlem4.1	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ R ∈ ℝ
25	23, 24	remulcl 5348	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (2 · R) ∈ ℝ
26	25	recn 5327	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · R) ∈ ℂ
27		ax1cn 5282	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
28	22, 26, 27	adddi 5339	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 · ((2 · R) + 1)) = ((2 · (2 · R)) + (2 · 1))
29	24	recn 5327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ R ∈ ℂ
30	22, 22, 29	mulass 5338	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 2) · R) = (2 · (2 · R))
31		2t2e4 6028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 2) = 4
32	31	opreq1i 3985	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 2) · R) = (4 · R)
33	30, 32	eqtr3 1504	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · (2 · R)) = (4 · R)
34	22	mulid1 5345	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · 1) = 2
35	33, 34	opreq12i 3987	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · (2 · R)) + (2 · 1)) = ((4 · R) + 2)
36	28, 35	eqtr2 1503	. . . . . . . 8 ⊢ ((4 · R) + 2) = (2 · ((2 · R) + 1))
37	36, 34	opreq12i 3987	. . . . . . 7 ⊢ (((4 · R) + 2) · (2 · 1)) = ((2 · ((2 · R) + 1)) · 2)
38		1re 5448	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℝ
39	25, 38	readdcl 5347	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 · R) + 1) ∈ ℝ
40	39	recn 5327	. . . . . . . 8 ⊢ ((2 · R) + 1) ∈ ℂ
41	22, 22, 40	mul23 5437	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) · ((2 · R) + 1)) = ((2 · ((2 · R) + 1)) · 2)
42	31	opreq1i 3985	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) · ((2 · R) + 1)) = (4 · ((2 · R) + 1))
43	37, 41, 42	3eqtr2r 1509	. . . . . 6 ⊢ (4 · ((2 · R) + 1)) = (((4 · R) + 2) · (2 · 1))
44	43	opreq1i 3985	. . . . 5 ⊢ ((4 · ((2 · R) + 1)) / B) = ((((4 · R) + 2) · (2 · 1)) / B)
45		4re 5988	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℝ
46	45, 24	remulcl 5348	. . . . . . . 8 ⊢ (4 · R) ∈ ℝ
47	46, 23	readdcl 5347	. . . . . . 7 ⊢ ((4 · R) + 2) ∈ ℝ
48	47	recn 5327	. . . . . 6 ⊢ ((4 · R) + 2) ∈ ℂ
49	22, 27	mulcl 5334	. . . . . 6 ⊢ (2 · 1) ∈ ℂ
50	9	nncn 5938	. . . . . 6 ⊢ B ∈ ℂ
51	48, 49, 50, 11	divass 5755	. . . . 5 ⊢ ((((4 · R) + 2) · (2 · 1)) / B) = (((4 · R) + 2) · ((2 · 1) / B))
52	22, 27, 50, 11	divass 5755	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) / B) = (2 · (1 / B))
53	12	recn 5327	. . . . . . . 8 ⊢ (1 / B) ∈ ℂ
54	53	2times 6009	. . . . . . 7 ⊢ (2 · (1 / B)) = ((1 / B) + (1 / B))
55	52, 54	eqtr 1502	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) / B) = ((1 / B) + (1 / B))
56	55	opreq2i 3986	. . . . 5 ⊢ (((4 · R) + 2) · ((2 · 1) / B)) = (((4 · R) + 2) · ((1 / B) + (1 / B)))
57	44, 51, 56	3eqtr 1506	. . . 4 ⊢ ((4 · ((2 · R) + 1)) / B) = (((4 · R) + 2) · ((1 / B) + (1 / B)))
58	57	breq2i 2640	. . 3 ⊢ ((((4 · R) + 2) · ((1 / D) + (1 / G))) ≤ ((4 · ((2 · R) + 1)) / B) ↔ (((4 · R) + 2) · ((1 / D) + (1 / G))) ≤ (((4 · R) + 2) · ((1 / B) + (1 / B))))
59		0re 5453	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ
60		4pos 5998	. . . . . . 7 ⊢ 0 < 4
61	59, 45, 60	ltlei 5594	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ 4
62		projlem4.2	. . . . . 6 ⊢ 0 ≤ R
63	45, 24	mulge0 5620	. . . . . 6 ⊢ ((0 ≤ 4 ⋀ 0 ≤ R) → 0 ≤ (4 · R))
64	61, 62, 63	mp2an 701	. . . . 5 ⊢ 0 ≤ (4 · R)
65		2pos 5995	. . . . 5 ⊢ 0 < 2
66	46, 23	addgegt0 5613	. . . . 5 ⊢ ((0 ≤ (4 · R) ⋀ 0 < 2) → 0 < ((4 · R) + 2))
67	64, 65, 66	mp2an 701	. . . 4 ⊢ 0 < ((4 · R) + 2)
68	4, 8	readdcl 5347	. . . . 5 ⊢ ((1 / D) + (1 / G)) ∈ ℝ
69	12, 12	readdcl 5347	. . . . 5 ⊢ ((1 / B) + (1 / B)) ∈ ℝ
70	68, 69, 47	lemul2 5840	. . . 4 ⊢ (0 < ((4 · R) + 2) → (((1 / D) + (1 / G)) ≤ ((1 / B) + (1 / B)) ↔ (((4 · R) + 2) · ((1 / D) + (1 / G))) ≤ (((4 · R) + 2) · ((1 / B) + (1 / B)))))
71	67, 70	ax-mp 7	. . 3 ⊢ (((1 / D) + (1 / G)) ≤ ((1 / B) + (1 / B)) ↔ (((4 · R) + 2) · ((1 / D) + (1 / G))) ≤ (((4 · R) + 2) · ((1 / B) + (1 / B))))
72	58, 71	bitr4 176	. 2 ⊢ ((((4 · R) + 2) · ((1 / D) + (1 / G))) ≤ ((4 · ((2 · R) + 1)) / B) ↔ ((1 / D) + (1 / G)) ≤ ((1 / B) + (1 / B)))
73	21, 72	sylibr 200	1 ⊢ ((B ≤ D ⋀ B ≤ G) → (((4 · R) + 2) · ((1 / D) + (1 / G))) ≤ ((4 · ((2 · R) + 1)) / B))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   ∈ wcel 962   class class class wbr 2632  (class class class)co 3977  ℝcr 5246  0cc0 5247  1c1 5248   + caddc 5250   · cmul 5252   / cdiv 5307   ≤ cle 5308  ℕcn 5309   < clt 5499  2c2 5967  4c4 5969

This theorem is referenced by:  projlem6 9198

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1129  ax-10o 1146  ax-16 1216  ax-11o 1224  ax-ext 1466  ax-rep 2706  ax-sep 2716  ax-nul 2723  ax-pow 2756  ax-pr 2793  ax-un 2880  ax-inf2 4637

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 780  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1178  df-eu 1388  df-mo 1389  df-clab 1471  df-cleq 1476  df-clel 1479  df-ne 1594  df-nel 1595  df-ral 1656  df-rex 1657  df-reu 1658  df-rab 1659  df-v 1819  df-sbc 1949  df-csb 2010  df-dif 2058  df-un 2059  df-in 2060  df-ss 2062  df-pss 2064  df-nul 2290  df-if 2372  df-pw 2412  df-sn 2422  df-pr 2423  df-tp 2425  df-op 2426  df-uni 2516  df-int 2546  df-iun 2580  df-br 2633  df-opab 2680  df-tr 2694  df-eprel 2846  df-id 2849  df-po 2854  df-so 2864  df-fr 2931  df-we 2948  df-ord 2965  df-on 2966  df-lim 2967  df-suc 2968  df-om 3146  df-xp 3198  df-rel 3199  df-cnv 3200  df-co 3201  df-dm 3202  df-rn 3203  df-res 3204  df-ima 3205  df-fun 3206  df-fn 3207  df-f 3208  df-f1 3209  df-fo 3210  df-f1o 3211  df-fv 3212  df-rdg 3946  df-opr 3979  df-oprab 3980  df-1st 4093  df-2nd 4094  df-1o 4147  df-oadd 4149  df-omul 4150  df-er 4275  df-ec 4277  df-qs 4280  df-en 4382  df-dom 4383  df-sdom 4384  df-ni 5013  df-pli 5014  df-mi 5015  df-lti 5016  df-plpq 5048  df-mpq 5049  df-enq 5050  df-nq 5051  df-plq 5052  df-mq 5053  df-rq 5054  df-ltq 5055  df-1q 5056  df-np 5099  df-1p 5100  df-plp 5101  df-mp 5102  df-ltp 5103  df-plpr 5177  df-mpr 5178  df-enr 5179  df-nr 5180  df-plr 5181  df-mr 5182  df-ltr 5183  df-0r 5184  df-1r 5185  df-m1r 5186  df-c 5253  df-0 5254  df-1 5255  df-i 5256  df-r 5257  df-plus 5258  df-mul 5259  df-lt 5260  df-sub 5369  df-neg 5371  df-pnf 5500  df-mnf 5501  df-xr 5502  df-ltxr 5503  df-le 5504  df-div 5716  df-n 5931  df-2 5976  df-3 5977  df-4 5978

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