Theorem prodgt0t 5830

Description: Infer that a multiplicand is positive from a nonnegative muliplier and positive product.

Assertion

Ref	Expression
prodgt0t	⊢ (((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ) ⋀ (0 ≤ A ⋀ 0 < (A · B))) → 0 < B)

Proof of Theorem prodgt0t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 2636	. . . . 5 ⊢ (A = if(A ∈ ℝ, A, 0) → (0 ≤ A ↔ 0 ≤ if(A ∈ ℝ, A, 0)))
2		opreq1 3982	. . . . . 6 ⊢ (A = if(A ∈ ℝ, A, 0) → (A · B) = ( if(A ∈ ℝ, A, 0) · B))
3	2	breq2d 2643	. . . . 5 ⊢ (A = if(A ∈ ℝ, A, 0) → (0 < (A · B) ↔ 0 < ( if(A ∈ ℝ, A, 0) · B)))
4	1, 3	anbi12d 631	. . . 4 ⊢ (A = if(A ∈ ℝ, A, 0) → ((0 ≤ A ⋀ 0 < (A · B)) ↔ (0 ≤ if(A ∈ ℝ, A, 0) ⋀ 0 < ( if(A ∈ ℝ, A, 0) · B))))
5	4	imbi1d 616	. . 3 ⊢ (A = if(A ∈ ℝ, A, 0) → (((0 ≤ A ⋀ 0 < (A · B)) → 0 < B) ↔ ((0 ≤ if(A ∈ ℝ, A, 0) ⋀ 0 < ( if(A ∈ ℝ, A, 0) · B)) → 0 < B)))
6		opreq2 3983	. . . . . 6 ⊢ (B = if(B ∈ ℝ, B, 0) → ( if(A ∈ ℝ, A, 0) · B) = ( if(A ∈ ℝ, A, 0) · if(B ∈ ℝ, B, 0)))
7	6	breq2d 2643	. . . . 5 ⊢ (B = if(B ∈ ℝ, B, 0) → (0 < ( if(A ∈ ℝ, A, 0) · B) ↔ 0 < ( if(A ∈ ℝ, A, 0) · if(B ∈ ℝ, B, 0))))
8	7	anbi2d 619	. . . 4 ⊢ (B = if(B ∈ ℝ, B, 0) → ((0 ≤ if(A ∈ ℝ, A, 0) ⋀ 0 < ( if(A ∈ ℝ, A, 0) · B)) ↔ (0 ≤ if(A ∈ ℝ, A, 0) ⋀ 0 < ( if(A ∈ ℝ, A, 0) · if(B ∈ ℝ, B, 0)))))
9		breq2 2636	. . . 4 ⊢ (B = if(B ∈ ℝ, B, 0) → (0 < B ↔ 0 < if(B ∈ ℝ, B, 0)))
10	8, 9	imbi12d 629	. . 3 ⊢ (B = if(B ∈ ℝ, B, 0) → (((0 ≤ if(A ∈ ℝ, A, 0) ⋀ 0 < ( if(A ∈ ℝ, A, 0) · B)) → 0 < B) ↔ ((0 ≤ if(A ∈ ℝ, A, 0) ⋀ 0 < ( if(A ∈ ℝ, A, 0) · if(B ∈ ℝ, B, 0))) → 0 < if(B ∈ ℝ, B, 0))))
11		0re 5453	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
12	11	elimel 2404	. . . 4 ⊢ if(A ∈ ℝ, A, 0) ∈ ℝ
13	11	elimel 2404	. . . 4 ⊢ if(B ∈ ℝ, B, 0) ∈ ℝ
14	12, 13	prodgt0 5823	. . 3 ⊢ ((0 ≤ if(A ∈ ℝ, A, 0) ⋀ 0 < ( if(A ∈ ℝ, A, 0) · if(B ∈ ℝ, B, 0))) → 0 < if(B ∈ ℝ, B, 0))
15	5, 10, 14	dedth2h 2397	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ) → ((0 ≤ A ⋀ 0 < (A · B)) → 0 < B))
16	15	imp 350	1 ⊢ (((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ) ⋀ (0 ≤ A ⋀ 0 < (A · B))) → 0 < B)

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 960   ∈ wcel 962   ifcif 2371   class class class wbr 2632  (class class class)co 3977  ℝcr 5246  0cc0 5247   · cmul 5252   ≤ cle 5308   < clt 5499

This theorem is referenced by:  prodgt02t 5831

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1129  ax-10o 1146  ax-16 1216  ax-11o 1224  ax-ext 1466  ax-rep 2706  ax-sep 2716  ax-nul 2723  ax-pow 2756  ax-pr 2793  ax-un 2880  ax-inf2 4637

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 780  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1178  df-eu 1388  df-mo 1389  df-clab 1471  df-cleq 1476  df-clel 1479  df-ne 1594  df-nel 1595  df-ral 1656  df-rex 1657  df-reu 1658  df-rab 1659  df-v 1819  df-sbc 1949  df-csb 2010  df-dif 2058  df-un 2059  df-in 2060  df-ss 2062  df-pss 2064  df-nul 2290  df-if 2372  df-pw 2412  df-sn 2422  df-pr 2423  df-tp 2425  df-op 2426  df-uni 2516  df-int 2546  df-iun 2580  df-br 2633  df-opab 2680  df-tr 2694  df-eprel 2846  df-id 2849  df-po 2854  df-so 2864  df-fr 2931  df-we 2948  df-ord 2965  df-on 2966  df-lim 2967  df-suc 2968  df-om 3146  df-xp 3198  df-rel 3199  df-cnv 3200  df-co 3201  df-dm 3202  df-rn 3203  df-res 3204  df-ima 3205  df-fun 3206  df-fn 3207  df-f 3208  df-f1 3209  df-fo 3210  df-f1o 3211  df-fv 3212  df-rdg 3946  df-opr 3979  df-oprab 3980  df-1st 4093  df-2nd 4094  df-1o 4147  df-oadd 4149  df-omul 4150  df-er 4275  df-ec 4277  df-qs 4280  df-en 4382  df-dom 4383  df-sdom 4384  df-ni 5013  df-pli 5014  df-mi 5015  df-lti 5016  df-plpq 5048  df-mpq 5049  df-enq 5050  df-nq 5051  df-plq 5052  df-mq 5053  df-rq 5054  df-ltq 5055  df-1q 5056  df-np 5099  df-1p 5100  df-plp 5101  df-mp 5102  df-ltp 5103  df-plpr 5177  df-mpr 5178  df-enr 5179  df-nr 5180  df-plr 5181  df-mr 5182  df-ltr 5183  df-0r 5184  df-1r 5185  df-m1r 5186  df-c 5253  df-0 5254  df-1 5255  df-i 5256  df-r 5257  df-plus 5258  df-mul 5259  df-lt 5260  df-sub 5369  df-neg 5371  df-pnf 5500  df-mnf 5501  df-xr 5502  df-ltxr 5503  df-le 5504  df-div 5716

Copyright terms: Public domain