Theorem pjcmmul1 10067

Description: A necessary and sufficient condition for the product of two projectors to be a projector is that the projectors commute. Part 1 of Theorem 1 of [AkhiezerGlazman] p. 65.

Hypotheses

Ref	Expression
pjclem1.1	⊢ G ∈ Cℋ
pjclem1.2	⊢ H ∈ Cℋ

Assertion

Ref	Expression
pjcmmul1	⊢ (((proj ‘G) ∘ (proj ‘H)) = ((proj ‘H) ∘ (proj ‘G)) ↔ ((proj ‘G) ∘ (proj ‘H)) ∈ ran proj)

Proof of Theorem pjcmmul1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pjclem1.1	. . . 4 ⊢ G ∈ Cℋ
2		pjclem1.2	. . . 4 ⊢ H ∈ Cℋ
3	1, 2	pjclem4 10065	. . 3 ⊢ (((proj ‘G) ∘ (proj ‘H)) = ((proj ‘H) ∘ (proj ‘G)) → ((proj ‘G) ∘ (proj ‘H)) = (proj ‘(G ∩ H)))
4		pjmfn 9600	. . . 4 ⊢ proj Fn Cℋ
5	1, 2	chincl 9321	. . . 4 ⊢ (G ∩ H) ∈ Cℋ
6		fnfvelrn 3804	. . . 4 ⊢ ((proj Fn Cℋ ⋀ (G ∩ H) ∈ Cℋ ) → (proj ‘(G ∩ H)) ∈ ran proj)
7	4, 5, 6	mp2an 696	. . 3 ⊢ (proj ‘(G ∩ H)) ∈ ran proj
8	3, 7	syl6eqel 1553	. 2 ⊢ (((proj ‘G) ∘ (proj ‘H)) = ((proj ‘H) ∘ (proj ‘G)) → ((proj ‘G) ∘ (proj ‘H)) ∈ ran proj)
9		pjadj2t 10052	. . 3 ⊢ (((proj ‘G) ∘ (proj ‘H)) ∈ ran proj → (adjh ‘((proj ‘G) ∘ (proj ‘H))) = ((proj ‘G) ∘ (proj ‘H)))
10	1	pjbdln 10014	. . . . 5 ⊢ (proj ‘G) ∈ BndLinOp
11	2	pjbdln 10014	. . . . 5 ⊢ (proj ‘H) ∈ BndLinOp
12	10, 11	adjco 9971	. . . 4 ⊢ (adjh ‘((proj ‘G) ∘ (proj ‘H))) = ((adjh ‘(proj ‘H)) ∘ (adjh ‘(proj ‘G)))
13		pjadj3t 10053	. . . . . 6 ⊢ (H ∈ Cℋ → (adjh ‘(proj ‘H)) = (proj ‘H))
14	2, 13	ax-mp 7	. . . . 5 ⊢ (adjh ‘(proj ‘H)) = (proj ‘H)
15	14	coeq1i 3278	. . . 4 ⊢ ((adjh ‘(proj ‘H)) ∘ (adjh ‘(proj ‘G))) = ((proj ‘H) ∘ (adjh ‘(proj ‘G)))
16		pjadj3t 10053	. . . . . 6 ⊢ (G ∈ Cℋ → (adjh ‘(proj ‘G)) = (proj ‘G))
17	1, 16	ax-mp 7	. . . . 5 ⊢ (adjh ‘(proj ‘G)) = (proj ‘G)
18	17	coeq2i 3279	. . . 4 ⊢ ((proj ‘H) ∘ (adjh ‘(proj ‘G))) = ((proj ‘H) ∘ (proj ‘G))
19	12, 15, 18	3eqtr 1496	. . 3 ⊢ (adjh ‘((proj ‘G) ∘ (proj ‘H))) = ((proj ‘H) ∘ (proj ‘G))
20	9, 19	syl5reqr 1519	. 2 ⊢ (((proj ‘G) ∘ (proj ‘H)) ∈ ran proj → ((proj ‘G) ∘ (proj ‘H)) = ((proj ‘H) ∘ (proj ‘G)))
21	8, 20	impbi 157	1 ⊢ (((proj ‘G) ∘ (proj ‘H)) = ((proj ‘H) ∘ (proj ‘G)) ↔ ((proj ‘G) ∘ (proj ‘H)) ∈ ran proj)

Syntax hints:   ↔ wb 146   = wceq 954   ∈ wcel 956   ∩ cin 2042  ran crn 3166   ∘ ccom 3169   Fn wfn 3172   ‘cfv 3177   C_ℋ cch 8737  projcpj 8745  adj_hcado 8763

This theorem is referenced by:  pjcmmul2 10068

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-reg 4573  ax-inf2 4605  ax-ac 4724  ax-hilex 8808  ax-hfvadd 8809  ax-hvcom 8810  ax-hvass 8811  ax-hv0cl 8812  ax-hvaddid 8813  ax-hfvmul 8814  ax-hvmulid 8815  ax-hvmulass 8816  ax-hvdistr1 8817  ax-hvdistr2 8818  ax-hvmul0 8819  ax-hfi 8885  ax-his1 8888  ax-his2 8889  ax-his3 8890  ax-his4 8891  ax-hcompl 9010

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-iin 2564  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-map 4314  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-r1 4623  df-rank 4624  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-3 5926  df-4 5927  df-n0 6055  df-z 6091  df-fl 6180  df-q 6202  df-seq1 6253  df-shft 6286  df-ioo 6306  df-uz 6358  df-fz 6408  df-seqz 6473  df-exp 6509  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-abs 6693  df-clim 6921  df-sum 6926  df-top 7542  df-bases 7544  df-topgen 7545  df-cld 7613  df-ntr 7614  df-cls 7615  df-cn 7704  df-cnp 7705  df-haus 7732  df-met 7743  df-bl 7745  df-opn 7746  df-lm 7874  df-grp 7987  df-gid 7988  df-ginv 7989  df-gdiv 7990  df-abl 8051  df-vc 8117  df-nv 8163  df-va 8166  df-ba 8167  df-sm 8168  df-0v 8169  df-vs 8170  df-nm 8171  df-ims 8172  df-ip 8297  df-lno 8352  df-nmo 8353  df-0o 8355  df-ph 8416  df-hnorm 8776  df-hvsub 8779  df-hlim 8780  df-hcau 8781  df-sh 9015  df-ch 9031  df-oc 9063  df-ch0 9064  df-pj 9175  df-h0op 9614  df-iop 9615  df-nmop 9705  df-cnop 9706  df-lnop 9707  df-bdop 9708  df-unop 9709  df-hmop 9710  df-nmfn 9711  df-nlfn 9712  df-cnfn 9713  df-lnfn 9714  df-adjh 9715

Copyright terms: Public domain