Theorem peano5 3143

Description: The induction postulate: any class containing zero and closed under the successor operation contains all natural numbers. One of Peano's 5 postulates for arithmetic. Proposition 7.30(5) of [TakeutiZaring] p. 43.

Assertion

Ref	Expression
peano5	⊢ ((∅ ∈ A ⋀ ∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A)) → ω ⊆ A)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem peano5

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifn 2153	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ (ω ∖ A) → ¬ y ∈ A)
2	1	adantl 388	. . . . 5 ⊢ (((∅ ∈ A ⋀ ∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A)) ⋀ y ∈ (ω ∖ A)) → ¬ y ∈ A)
3		nnsuc 3138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((y ∈ ω ⋀ y ≠ ∅) → ∃x ∈ ω y = suc x)
4		eldifi 2152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y ∈ (ω ∖ A) → y ∈ ω)
5	4	adantl 388	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∅ ∈ A ⋀ y ∈ (ω ∖ A)) → y ∈ ω)
6		eleq1 1526	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y = ∅ → (y ∈ (ω ∖ A) ↔ ∅ ∈ (ω ∖ A)))
7	6	biimpcd 155	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (y ∈ (ω ∖ A) → (y = ∅ → ∅ ∈ (ω ∖ A)))
8	7	necon3bd 1595	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y ∈ (ω ∖ A) → (¬ ∅ ∈ (ω ∖ A) → y ≠ ∅))
9		elndif 2154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∅ ∈ A → ¬ ∅ ∈ (ω ∖ A))
10	8, 9	syl5com 52	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∅ ∈ A → (y ∈ (ω ∖ A) → y ≠ ∅))
11	10	imp 350	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∅ ∈ A ⋀ y ∈ (ω ∖ A)) → y ≠ ∅)
12	3, 5, 11	sylanc 471	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∅ ∈ A ⋀ y ∈ (ω ∖ A)) → ∃x ∈ ω y = suc x)
13	12	adantlr 393	. . . . . . . 8 ⊢ (((∅ ∈ A ⋀ ∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A)) ⋀ y ∈ (ω ∖ A)) → ∃x ∈ ω y = suc x)
14	13	adantr 389	. . . . . . 7 ⊢ ((((∅ ∈ A ⋀ ∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A)) ⋀ y ∈ (ω ∖ A)) ⋀ ((ω ∖ A) ∩ y) = ∅) → ∃x ∈ ω y = suc x)
15		hbra1 1679	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A) → ∀x∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A))
16		ax-17 968	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((y ∈ (ω ∖ A) ⋀ ((ω ∖ A) ∩ y) = ∅) → ∀x(y ∈ (ω ∖ A) ⋀ ((ω ∖ A) ∩ y) = ∅))
17	15, 16	hban 1006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A) ⋀ (y ∈ (ω ∖ A) ⋀ ((ω ∖ A) ∩ y) = ∅)) → ∀x(∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A) ⋀ (y ∈ (ω ∖ A) ⋀ ((ω ∖ A) ∩ y) = ∅)))
18		ax-17 968	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (y ∈ A → ∀x y ∈ A)
19		ra4 1686	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A) → (x ∈ ω → (x ∈ A → suc x ∈ A)))
20		visset 1804	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ x ∈ V
21	20	sucid 3041	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ x ∈ suc x
22		eleq2 1527	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (y = suc x → (x ∈ y ↔ x ∈ suc x))
23	21, 22	mpbiri 194	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (y = suc x → x ∈ y)
24		eleq1 1526	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (y = suc x → (y ∈ ω ↔ suc x ∈ ω))
25		peano2b 3137	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (x ∈ ω ↔ suc x ∈ ω)
26	24, 25	syl6bbr 536	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (y = suc x → (y ∈ ω ↔ x ∈ ω))
27		neldif 2155	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((x ∈ ω ⋀ ¬ x ∈ (ω ∖ A)) → x ∈ A)
28		minel 2314	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((x ∈ y ⋀ ((ω ∖ A) ∩ y) = ∅) → ¬ x ∈ (ω ∖ A))
29	27, 28	sylan2 451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((x ∈ ω ⋀ (x ∈ y ⋀ ((ω ∖ A) ∩ y) = ∅)) → x ∈ A)
30	29	exp32 377	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (x ∈ ω → (x ∈ y → (((ω ∖ A) ∩ y) = ∅ → x ∈ A)))
31	26, 30	syl6bi 214	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (y = suc x → (y ∈ ω → (x ∈ y → (((ω ∖ A) ∩ y) = ∅ → x ∈ A))))
32	23, 31	mpid 47	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (y = suc x → (y ∈ ω → (((ω ∖ A) ∩ y) = ∅ → x ∈ A)))
33	32, 4	syl5 21	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (y = suc x → (y ∈ (ω ∖ A) → (((ω ∖ A) ∩ y) = ∅ → x ∈ A)))
34	33	imp3a 361	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y = suc x → ((y ∈ (ω ∖ A) ⋀ ((ω ∖ A) ∩ y) = ∅) → x ∈ A))
35		eleq1a 1535	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (suc x ∈ A → (y = suc x → y ∈ A))
36	35	com12 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (y = suc x → (suc x ∈ A → y ∈ A))
37	34, 36	imim12d 29	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (y = suc x → ((x ∈ A → suc x ∈ A) → ((y ∈ (ω ∖ A) ⋀ ((ω ∖ A) ∩ y) = ∅) → y ∈ A)))
38	37	com13 33	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((y ∈ (ω ∖ A) ⋀ ((ω ∖ A) ∩ y) = ∅) → ((x ∈ A → suc x ∈ A) → (y = suc x → y ∈ A)))
39	19, 38	sylan9 468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A) ⋀ (y ∈ (ω ∖ A) ⋀ ((ω ∖ A) ∩ y) = ∅)) → (x ∈ ω → (y = suc x → y ∈ A)))
40	17, 18, 39	r19.23ad 1737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A) ⋀ (y ∈ (ω ∖ A) ⋀ ((ω ∖ A) ∩ y) = ∅)) → (∃x ∈ ω y = suc x → y ∈ A))
41	40	exp32 377	. . . . . . . . 9 ⊢ (∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A) → (y ∈ (ω ∖ A) → (((ω ∖ A) ∩ y) = ∅ → (∃x ∈ ω y = suc x → y ∈ A))))
42	41	a1i 8	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ ∈ A → (∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A) → (y ∈ (ω ∖ A) → (((ω ∖ A) ∩ y) = ∅ → (∃x ∈ ω y = suc x → y ∈ A)))))
43	42	imp41 368	. . . . . . 7 ⊢ ((((∅ ∈ A ⋀ ∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A)) ⋀ y ∈ (ω ∖ A)) ⋀ ((ω ∖ A) ∩ y) = ∅) → (∃x ∈ ω y = suc x → y ∈ A))
44	14, 43	mpd 26	. . . . . 6 ⊢ ((((∅ ∈ A ⋀ ∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A)) ⋀ y ∈ (ω ∖ A)) ⋀ ((ω ∖ A) ∩ y) = ∅) → y ∈ A)
45	44	ex 373	. . . . 5 ⊢ (((∅ ∈ A ⋀ ∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A)) ⋀ y ∈ (ω ∖ A)) → (((ω ∖ A) ∩ y) = ∅ → y ∈ A))
46	2, 45	mtod 108	. . . 4 ⊢ (((∅ ∈ A ⋀ ∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A)) ⋀ y ∈ (ω ∖ A)) → ¬ ((ω ∖ A) ∩ y) = ∅)
47	46	nrexdv 1722	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ A ⋀ ∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A)) → ¬ ∃y ∈ (ω ∖ A)((ω ∖ A) ∩ y) = ∅)
48		ordom 3131	. . . . 5 ⊢ Ord ω
49		difss 2157	. . . . 5 ⊢ (ω ∖ A) ⊆ ω
50		tz7.5 2959	. . . . 5 ⊢ ((Ord ω ⋀ (ω ∖ A) ⊆ ω ⋀ (ω ∖ A) ≠ ∅) → ∃y ∈ (ω ∖ A)((ω ∖ A) ∩ y) = ∅)
51	48, 49, 50	mp3an12 903	. . . 4 ⊢ ((ω ∖ A) ≠ ∅ → ∃y ∈ (ω ∖ A)((ω ∖ A) ∩ y) = ∅)
52	51	necon1bi 1601	. . 3 ⊢ (¬ ∃y ∈ (ω ∖ A)((ω ∖ A) ∩ y) = ∅ → (ω ∖ A) = ∅)
53	47, 52	syl 10	. 2 ⊢ ((∅ ∈ A ⋀ ∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A)) → (ω ∖ A) = ∅)
54		ssdif0 2317	. 2 ⊢ (ω ⊆ A ↔ (ω ∖ A) = ∅)
55	53, 54	sylibr 200	1 ⊢ ((∅ ∈ A ⋀ ∀x ∈ ω (x ∈ A → suc x ∈ A)) → ω ⊆ A)

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 953   ∈ wcel 955   ≠ wne 1577  ∀wral 1637  ∃wrex 1638   ∖ cdif 2034   ∩ cin 2036   ⊆ wss 2037  ∅c0 2270  Ord word 2937  suc csuc 2940  ωcom 3121

This theorem is referenced by:  find 3145  finds 3146  finds2 3148  omex 4599  dfom3 4602

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122

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