Theorem omlsi 9252

Description: Subspace inference form of orthomodular law in the Hilbert lattice.

Hypotheses

Ref	Expression
omlsi.1	⊢ A ∈ Cℋ
omlsi.2	⊢ B ∈ Sℋ
omlsi.3	⊢ A ⊆ B
omlsi.4	⊢ (B ∩ (⊥ ‘A)) = 0ℋ

Assertion

Ref	Expression
omlsi	⊢ A = B

Proof of Theorem omlsi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		omlsi.3	. 2 ⊢ A ⊆ B
2		omlsi.2	. . . . . 6 ⊢ B ∈ Sℋ
3	2	shel 9089	. . . . 5 ⊢ (x ∈ B → x ∈ ℋ )
4		omlsi.1	. . . . . 6 ⊢ A ∈ Cℋ
5		pjtht 9241	. . . . . 6 ⊢ ((A ∈ Cℋ ⋀ x ∈ ℋ ) → ∃y ∈ A ∃z ∈ (⊥ ‘A)x = (y +h z))
6	4, 5	mpan 699	. . . . 5 ⊢ (x ∈ ℋ → ∃y ∈ A ∃z ∈ (⊥ ‘A)x = (y +h z))
7	3, 6	syl 10	. . . 4 ⊢ (x ∈ B → ∃y ∈ A ∃z ∈ (⊥ ‘A)x = (y +h z))
8		eqeq1 1488	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = if(x ∈ B, x, 0h) → (x = (y +h z) ↔ if(x ∈ B, x, 0h) = (y +h z)))
9		eleq1 1541	. . . . . . . . 9 ⊢ (x = if(x ∈ B, x, 0h) → (x ∈ A ↔ if(x ∈ B, x, 0h) ∈ A))
10	8, 9	imbi12d 629	. . . . . . . 8 ⊢ (x = if(x ∈ B, x, 0h) → ((x = (y +h z) → x ∈ A) ↔ ( if(x ∈ B, x, 0h) = (y +h z) → if(x ∈ B, x, 0h) ∈ A)))
11		opreq1 3982	. . . . . . . . . 10 ⊢ (y = if(y ∈ A, y, 0h) → (y +h z) = ( if(y ∈ A, y, 0h) +h z))
12	11	eqeq2d 1493	. . . . . . . . 9 ⊢ (y = if(y ∈ A, y, 0h) → ( if(x ∈ B, x, 0h) = (y +h z) ↔ if(x ∈ B, x, 0h) = ( if(y ∈ A, y, 0h) +h z)))
13	12	imbi1d 616	. . . . . . . 8 ⊢ (y = if(y ∈ A, y, 0h) → (( if(x ∈ B, x, 0h) = (y +h z) → if(x ∈ B, x, 0h) ∈ A) ↔ ( if(x ∈ B, x, 0h) = ( if(y ∈ A, y, 0h) +h z) → if(x ∈ B, x, 0h) ∈ A)))
14		opreq2 3983	. . . . . . . . . 10 ⊢ (z = if(z ∈ (⊥ ‘A), z, 0h) → ( if(y ∈ A, y, 0h) +h z) = ( if(y ∈ A, y, 0h) +h if(z ∈ (⊥ ‘A), z, 0h)))
15	14	eqeq2d 1493	. . . . . . . . 9 ⊢ (z = if(z ∈ (⊥ ‘A), z, 0h) → ( if(x ∈ B, x, 0h) = ( if(y ∈ A, y, 0h) +h z) ↔ if(x ∈ B, x, 0h) = ( if(y ∈ A, y, 0h) +h if(z ∈ (⊥ ‘A), z, 0h))))
16	15	imbi1d 616	. . . . . . . 8 ⊢ (z = if(z ∈ (⊥ ‘A), z, 0h) → (( if(x ∈ B, x, 0h) = ( if(y ∈ A, y, 0h) +h z) → if(x ∈ B, x, 0h) ∈ A) ↔ ( if(x ∈ B, x, 0h) = ( if(y ∈ A, y, 0h) +h if(z ∈ (⊥ ‘A), z, 0h)) → if(x ∈ B, x, 0h) ∈ A)))
17	4	chshi 9104	. . . . . . . . 9 ⊢ A ∈ Sℋ
18		omlsi.4	. . . . . . . . 9 ⊢ (B ∩ (⊥ ‘A)) = 0ℋ
19		sh0 9091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (B ∈ Sℋ → 0h ∈ B)
20	2, 19	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0h ∈ B
21	20	elimel 2404	. . . . . . . . 9 ⊢ if(x ∈ B, x, 0h) ∈ B
22		ch0 9105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (A ∈ Cℋ → 0h ∈ A)
23	4, 22	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0h ∈ A
24	23	elimel 2404	. . . . . . . . 9 ⊢ if(y ∈ A, y, 0h) ∈ A
25		shocsh 9164	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (A ∈ Sℋ → (⊥ ‘A) ∈ Sℋ )
26	17, 25	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⊥ ‘A) ∈ Sℋ
27		sh0 9091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⊥ ‘A) ∈ Sℋ → 0h ∈ (⊥ ‘A))
28	26, 27	ax-mp 7	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0h ∈ (⊥ ‘A)
29	28	elimel 2404	. . . . . . . . 9 ⊢ if(z ∈ (⊥ ‘A), z, 0h) ∈ (⊥ ‘A)
30	17, 2, 1, 18, 21, 24, 29	omlsilem 9251	. . . . . . . 8 ⊢ ( if(x ∈ B, x, 0h) = ( if(y ∈ A, y, 0h) +h if(z ∈ (⊥ ‘A), z, 0h)) → if(x ∈ B, x, 0h) ∈ A)
31	10, 13, 16, 30	dedth3h 2398	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ B ⋀ y ∈ A ⋀ z ∈ (⊥ ‘A)) → (x = (y +h z) → x ∈ A))
32	31	3expia 839	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ B ⋀ y ∈ A) → (z ∈ (⊥ ‘A) → (x = (y +h z) → x ∈ A)))
33	32	r19.23adv 1753	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ B ⋀ y ∈ A) → (∃z ∈ (⊥ ‘A)x = (y +h z) → x ∈ A))
34	33	r19.23adva 1754	. . . 4 ⊢ (x ∈ B → (∃y ∈ A ∃z ∈ (⊥ ‘A)x = (y +h z) → x ∈ A))
35	7, 34	mpd 26	. . 3 ⊢ (x ∈ B → x ∈ A)
36	35	ssriv 2078	. 2 ⊢ B ⊆ A
37	1, 36	eqssi 2087	1 ⊢ A = B

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 960   ∈ wcel 962  ∃wrex 1653   ∩ cin 2055   ⊆ wss 2056   ifcif 2371   ‘cfv 3196  (class class class)co 3977   ℋ chil 8795   +_h cva 8796  0_hc0v 8798   S_ℋ csh 8804   C_ℋ cch 8805  ⊥cort 8806  0_ℋc0h 8811

This theorem is referenced by:  omls 9253  ococ 9254  qlaxr3 9584  hatomistic 10297

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1129  ax-10o 1146  ax-16 1216  ax-11o 1224  ax-ext 1466  ax-rep 2706  ax-sep 2716  ax-nul 2723  ax-pow 2756  ax-pr 2793  ax-un 2880  ax-inf2 4637  ax-ac 4756  ax-hilex 8876  ax-hfvadd 8877  ax-hvcom 8878  ax-hvass 8879  ax-hv0cl 8880  ax-hvaddid 8881  ax-hfvmul 8882  ax-hvmulid 8883  ax-hvmulass 8884  ax-hvdistr1 8885  ax-hvdistr2 8886  ax-hvmul0 8887  ax-hfi 8953  ax-his1 8956  ax-his2 8957  ax-his3 8958  ax-his4 8959  ax-hcompl 9078

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 780  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1178  df-eu 1388  df-mo 1389  df-clab 1471  df-cleq 1476  df-clel 1479  df-ne 1594  df-nel 1595  df-ral 1656  df-rex 1657  df-reu 1658  df-rab 1659  df-v 1819  df-sbc 1949  df-csb 2010  df-dif 2058  df-un 2059  df-in 2060  df-ss 2062  df-pss 2064  df-nul 2290  df-if 2372  df-pw 2412  df-sn 2422  df-pr 2423  df-tp 2425  df-op 2426  df-uni 2516  df-int 2546  df-iun 2580  df-br 2633  df-opab 2680  df-tr 2694  df-eprel 2846  df-id 2849  df-po 2854  df-so 2864  df-fr 2931  df-we 2948  df-ord 2965  df-on 2966  df-lim 2967  df-suc 2968  df-om 3146  df-xp 3198  df-rel 3199  df-cnv 3200  df-co 3201  df-dm 3202  df-rn 3203  df-res 3204  df-ima 3205  df-fun 3206  df-fn 3207  df-f 3208  df-f1 3209  df-fo 3210  df-f1o 3211  df-fv 3212  df-rdg 3946  df-opr 3979  df-oprab 3980  df-1st 4093  df-2nd 4094  df-1o 4147  df-oadd 4149  df-omul 4150  df-er 4275  df-ec 4277  df-qs 4280  df-en 4382  df-dom 4383  df-sdom 4384  df-sup 4584  df-ni 5013  df-pli 5014  df-mi 5015  df-lti 5016  df-plpq 5048  df-mpq 5049  df-enq 5050  df-nq 5051  df-plq 5052  df-mq 5053  df-rq 5054  df-ltq 5055  df-1q 5056  df-np 5099  df-1p 5100  df-plp 5101  df-mp 5102  df-ltp 5103  df-plpr 5177  df-mpr 5178  df-enr 5179  df-nr 5180  df-plr 5181  df-mr 5182  df-ltr 5183  df-0r 5184  df-1r 5185  df-m1r 5186  df-c 5253  df-0 5254  df-1 5255  df-i 5256  df-r 5257  df-plus 5258  df-mul 5259  df-lt 5260  df-sub 5369  df-neg 5371  df-pnf 5500  df-mnf 5501  df-xr 5502  df-ltxr 5503  df-le 5504  df-div 5716  df-n 5931  df-2 5976  df-3 5977  df-4 5978  df-n0 6106  df-z 6142  df-uz 6368  df-seq1 6491  df-exp 6582  df-sqr 6684  df-re 6765  df-im 6766  df-cj 6767  df-abs 6768  df-clim 6989  df-hnorm 8844  df-hvsub 8847  df-hlim 8848  df-hcau 8849  df-sh 9083  df-ch 9099  df-oc 9131  df-ch0 9132

Copyright terms: Public domain