Theorem mulneg1t 5431

Description: Product with negative is negative of product. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18.

Assertion

Ref	Expression
mulneg1t	⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → (-A · B) = -(A · B))

Proof of Theorem mulneg1t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 5339	. . . 4 ⊢ (A = if(A ∈ ℂ, A, 0) → -A = - if(A ∈ ℂ, A, 0))
2	1	opreq1d 3966	. . 3 ⊢ (A = if(A ∈ ℂ, A, 0) → (-A · B) = (- if(A ∈ ℂ, A, 0) · B))
3		opreq1 3959	. . . 4 ⊢ (A = if(A ∈ ℂ, A, 0) → (A · B) = ( if(A ∈ ℂ, A, 0) · B))
4	3	negeqd 5341	. . 3 ⊢ (A = if(A ∈ ℂ, A, 0) → -(A · B) = -( if(A ∈ ℂ, A, 0) · B))
5	2, 4	eqeq12d 1486	. 2 ⊢ (A = if(A ∈ ℂ, A, 0) → ((-A · B) = -(A · B) ↔ (- if(A ∈ ℂ, A, 0) · B) = -( if(A ∈ ℂ, A, 0) · B)))
6		opreq2 3960	. . 3 ⊢ (B = if(B ∈ ℂ, B, 0) → (- if(A ∈ ℂ, A, 0) · B) = (- if(A ∈ ℂ, A, 0) · if(B ∈ ℂ, B, 0)))
7		opreq2 3960	. . . 4 ⊢ (B = if(B ∈ ℂ, B, 0) → ( if(A ∈ ℂ, A, 0) · B) = ( if(A ∈ ℂ, A, 0) · if(B ∈ ℂ, B, 0)))
8	7	negeqd 5341	. . 3 ⊢ (B = if(B ∈ ℂ, B, 0) → -( if(A ∈ ℂ, A, 0) · B) = -( if(A ∈ ℂ, A, 0) · if(B ∈ ℂ, B, 0)))
9	6, 8	eqeq12d 1486	. 2 ⊢ (B = if(B ∈ ℂ, B, 0) → ((- if(A ∈ ℂ, A, 0) · B) = -( if(A ∈ ℂ, A, 0) · B) ↔ (- if(A ∈ ℂ, A, 0) · if(B ∈ ℂ, B, 0)) = -( if(A ∈ ℂ, A, 0) · if(B ∈ ℂ, B, 0))))
10		0cn 5308	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
11	10	elimel 2390	. . 3 ⊢ if(A ∈ ℂ, A, 0) ∈ ℂ
12	10	elimel 2390	. . 3 ⊢ if(B ∈ ℂ, B, 0) ∈ ℂ
13	11, 12	mulneg1 5425	. 2 ⊢ (- if(A ∈ ℂ, A, 0) · if(B ∈ ℂ, B, 0)) = -( if(A ∈ ℂ, A, 0) · if(B ∈ ℂ, B, 0))
14	5, 9, 13	dedth2h 2383	1 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → (-A · B) = -(A · B))

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 954   ∈ wcel 956   ifcif 2357  (class class class)co 3954  ℂcc 5212  0cc0 5214   · cmul 5219  -cneg 5273

This theorem is referenced by:  mulneg2t 5432  mulneg12t 5433  mulm1t 5451  divnegt 5738  zmulclt 6135  discrlem3 6596  cjreimt 6771  cjreim2t 6772  geolimilem 7178  subcost 7410  ipval2 8304  ipasslem2 8435  sinperlem2 8625

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-sub 5336  df-neg 5338

Copyright terms: Public domain