Theorem mul2negt 5426

Description: Product of two negatives. Theorem I.12 of [Apostol] p. 18.

Assertion

Ref	Expression
mul2negt	⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → (-A · -B) = (A · B))

Proof of Theorem mul2negt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 5331	. . . 4 ⊢ (A = if(A ∈ ℂ, A, 0) → -A = - if(A ∈ ℂ, A, 0))
2	1	opreq1d 3960	. . 3 ⊢ (A = if(A ∈ ℂ, A, 0) → (-A · -B) = (- if(A ∈ ℂ, A, 0) · -B))
3		opreq1 3953	. . 3 ⊢ (A = if(A ∈ ℂ, A, 0) → (A · B) = ( if(A ∈ ℂ, A, 0) · B))
4	2, 3	eqeq12d 1481	. 2 ⊢ (A = if(A ∈ ℂ, A, 0) → ((-A · -B) = (A · B) ↔ (- if(A ∈ ℂ, A, 0) · -B) = ( if(A ∈ ℂ, A, 0) · B)))
5		negeq 5331	. . . 4 ⊢ (B = if(B ∈ ℂ, B, 0) → -B = - if(B ∈ ℂ, B, 0))
6	5	opreq2d 3961	. . 3 ⊢ (B = if(B ∈ ℂ, B, 0) → (- if(A ∈ ℂ, A, 0) · -B) = (- if(A ∈ ℂ, A, 0) · - if(B ∈ ℂ, B, 0)))
7		opreq2 3954	. . 3 ⊢ (B = if(B ∈ ℂ, B, 0) → ( if(A ∈ ℂ, A, 0) · B) = ( if(A ∈ ℂ, A, 0) · if(B ∈ ℂ, B, 0)))
8	6, 7	eqeq12d 1481	. 2 ⊢ (B = if(B ∈ ℂ, B, 0) → ((- if(A ∈ ℂ, A, 0) · -B) = ( if(A ∈ ℂ, A, 0) · B) ↔ (- if(A ∈ ℂ, A, 0) · - if(B ∈ ℂ, B, 0)) = ( if(A ∈ ℂ, A, 0) · if(B ∈ ℂ, B, 0))))
9		0cn 5300	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℂ
10	9	elimel 2384	. . 3 ⊢ if(A ∈ ℂ, A, 0) ∈ ℂ
11	9	elimel 2384	. . 3 ⊢ if(B ∈ ℂ, B, 0) ∈ ℂ
12	10, 11	mul2neg 5419	. 2 ⊢ (- if(A ∈ ℂ, A, 0) · - if(B ∈ ℂ, B, 0)) = ( if(A ∈ ℂ, A, 0) · if(B ∈ ℂ, B, 0))
13	4, 8, 12	dedth2h 2377	1 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → (-A · -B) = (A · B))

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 953   ∈ wcel 955   ifcif 2351  (class class class)co 3948  ℂcc 5204  0cc0 5206   · cmul 5211  -cneg 5265

This theorem is referenced by:  mulsubt 5449  zmulclt 6127  sqnegt 6541  absnegt 6767  sinnegt 7384  cosnegt 7385

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-sub 5328  df-neg 5330

Copyright terms: Public domain