Theorem metne0 7830

Description: A metric space is nonempty iff its base set is nonempty.

Hypothesis

Ref	Expression
metf.1	⊢ X = dom dom D

Assertion

Ref	Expression
metne0	⊢ (D ∈ Met → (D ≠ ∅ ↔ X ≠ ∅))

Proof of Theorem metne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		metf.1	. . . . . 6 ⊢ X = dom dom D
2	1	metf 7816	. . . . 5 ⊢ (D ∈ Met → D:(X × X)–→ℝ)
3		frel 3644	. . . . 5 ⊢ (D:(X × X)–→ℝ → Rel D)
4		reldm0 3345	. . . . 5 ⊢ (Rel D → (D = ∅ ↔ dom D = ∅))
5	2, 3, 4	3syl 20	. . . 4 ⊢ (D ∈ Met → (D = ∅ ↔ dom D = ∅))
6		fdm 3645	. . . . . 6 ⊢ (D:(X × X)–→ℝ → dom D = (X × X))
7		relxp 3269	. . . . . . 7 ⊢ Rel (X × X)
8		releq 3257	. . . . . . 7 ⊢ (dom D = (X × X) → (Rel dom D ↔ Rel (X × X)))
9	7, 8	mpbiri 194	. . . . . 6 ⊢ (dom D = (X × X) → Rel dom D)
10	6, 9	syl 10	. . . . 5 ⊢ (D:(X × X)–→ℝ → Rel dom D)
11		reldm0 3345	. . . . 5 ⊢ (Rel dom D → (dom D = ∅ ↔ dom dom D = ∅))
12	2, 10, 11	3syl 20	. . . 4 ⊢ (D ∈ Met → (dom D = ∅ ↔ dom dom D = ∅))
13	5, 12	bitrd 531	. . 3 ⊢ (D ∈ Met → (D = ∅ ↔ dom dom D = ∅))
14	1	eqeq1i 1489	. . 3 ⊢ (X = ∅ ↔ dom dom D = ∅)
15	13, 14	syl6bbr 541	. 2 ⊢ (D ∈ Met → (D = ∅ ↔ X = ∅))
16	15	necon3bid 1608	1 ⊢ (D ∈ Met → (D ≠ ∅ ↔ X ≠ ∅))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   = wceq 960   ∈ wcel 962   ≠ wne 1592  ∅c0 2289   × cxp 3182  dom cdm 3184  Rel wrel 3189  –→wf 3192  ℝcr 5246  Metcme 7798

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1129  ax-10o 1146  ax-16 1216  ax-11o 1224  ax-ext 1466  ax-sep 2716  ax-pow 2756  ax-pr 2793  ax-un 2880

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 985  df-sb 1178  df-eu 1388  df-mo 1389  df-clab 1471  df-cleq 1476  df-clel 1479  df-ne 1594  df-ral 1656  df-v 1819  df-dif 2058  df-un 2059  df-in 2060  df-ss 2062  df-nul 2290  df-pw 2412  df-sn 2422  df-pr 2423  df-op 2426  df-uni 2516  df-br 2633  df-opab 2680  df-id 2849  df-xp 3198  df-rel 3199  df-cnv 3200  df-co 3201  df-dm 3202  df-rn 3203  df-res 3204  df-ima 3205  df-fun 3206  df-fn 3207  df-f 3208  df-fv 3212  df-opr 3979  df-met 7802

Copyright terms: Public domain