Theorem mdit 10230

Description: Consequence of the modular pair property.

Assertion

Ref	Expression
mdit	⊢ (((A ∈ Cℋ ⋀ B ∈ Cℋ ⋀ C ∈ Cℋ ) ⋀ (A Mℋ B ⋀ C ⊆ B)) → ((C ∨ℋ A) ∩ B) = (C ∨ℋ (A ∩ B)))

Proof of Theorem mdit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mdbrt 10229	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ Cℋ ⋀ B ∈ Cℋ ) → (A Mℋ B ↔ ∀x ∈ Cℋ (x ⊆ B → ((x ∨ℋ A) ∩ B) = (x ∨ℋ (A ∩ B)))))
2	1	biimpd 153	. . . 4 ⊢ ((A ∈ Cℋ ⋀ B ∈ Cℋ ) → (A Mℋ B → ∀x ∈ Cℋ (x ⊆ B → ((x ∨ℋ A) ∩ B) = (x ∨ℋ (A ∩ B)))))
3		sseq1 2091	. . . . . 6 ⊢ (x = C → (x ⊆ B ↔ C ⊆ B))
4		opreq1 3982	. . . . . . . 8 ⊢ (x = C → (x ∨ℋ A) = (C ∨ℋ A))
5	4	ineq1d 2225	. . . . . . 7 ⊢ (x = C → ((x ∨ℋ A) ∩ B) = ((C ∨ℋ A) ∩ B))
6		opreq1 3982	. . . . . . 7 ⊢ (x = C → (x ∨ℋ (A ∩ B)) = (C ∨ℋ (A ∩ B)))
7	5, 6	eqeq12d 1496	. . . . . 6 ⊢ (x = C → (((x ∨ℋ A) ∩ B) = (x ∨ℋ (A ∩ B)) ↔ ((C ∨ℋ A) ∩ B) = (C ∨ℋ (A ∩ B))))
8	3, 7	imbi12d 629	. . . . 5 ⊢ (x = C → ((x ⊆ B → ((x ∨ℋ A) ∩ B) = (x ∨ℋ (A ∩ B))) ↔ (C ⊆ B → ((C ∨ℋ A) ∩ B) = (C ∨ℋ (A ∩ B)))))
9	8	rcla4v 1880	. . . 4 ⊢ (C ∈ Cℋ → (∀x ∈ Cℋ (x ⊆ B → ((x ∨ℋ A) ∩ B) = (x ∨ℋ (A ∩ B))) → (C ⊆ B → ((C ∨ℋ A) ∩ B) = (C ∨ℋ (A ∩ B)))))
10	2, 9	sylan9 471	. . 3 ⊢ (((A ∈ Cℋ ⋀ B ∈ Cℋ ) ⋀ C ∈ Cℋ ) → (A Mℋ B → (C ⊆ B → ((C ∨ℋ A) ∩ B) = (C ∨ℋ (A ∩ B)))))
11	10	3impa 832	. 2 ⊢ ((A ∈ Cℋ ⋀ B ∈ Cℋ ⋀ C ∈ Cℋ ) → (A Mℋ B → (C ⊆ B → ((C ∨ℋ A) ∩ B) = (C ∨ℋ (A ∩ B)))))
12	11	imp32 363	1 ⊢ (((A ∈ Cℋ ⋀ B ∈ Cℋ ⋀ C ∈ Cℋ ) ⋀ (A Mℋ B ⋀ C ⊆ B)) → ((C ∨ℋ A) ∩ B) = (C ∨ℋ (A ∩ B)))

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 779   = wceq 960   ∈ wcel 962  ∀wral 1652   ∩ cin 2055   ⊆ wss 2056   class class class wbr 2632  (class class class)co 3977   C_ℋ cch 8805   ∨_ℋ chj 8809   M_ℋ cmd 8842

This theorem is referenced by:  mdsl3t 10251  mdslmd3 10267  mdexch 10270  atabs 10336

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1129  ax-10o 1146  ax-16 1216  ax-11o 1224  ax-ext 1466  ax-sep 2716  ax-pow 2756  ax-pr 2793

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1178  df-eu 1388  df-mo 1389  df-clab 1471  df-cleq 1476  df-clel 1479  df-ne 1594  df-ral 1656  df-v 1819  df-dif 2058  df-un 2059  df-in 2060  df-ss 2062  df-nul 2290  df-pw 2412  df-sn 2422  df-pr 2423  df-op 2426  df-uni 2516  df-br 2633  df-opab 2680  df-xp 3198  df-cnv 3200  df-dm 3202  df-rn 3203  df-res 3204  df-ima 3205  df-fv 3212  df-opr 3979  df-md 10215

Copyright terms: Public domain