Theorem ltneg 5577

Description: Negative of both sides of 'less than'. Theorem I.23 of [Apostol] p. 20.

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ A ∈ ℝ
lt.2	⊢ B ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
ltneg	⊢ (A < B ↔ -B < -A)

Proof of Theorem ltneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 ⊢ A ∈ ℝ
2		lt.2	. . 3 ⊢ B ∈ ℝ
3	1	renegcl 5388	. . . 4 ⊢ -A ∈ ℝ
4	2	renegcl 5388	. . . 4 ⊢ -B ∈ ℝ
5	3, 4	readdcl 5306	. . 3 ⊢ (-A + -B) ∈ ℝ
6	1, 2, 5	ltadd1 5565	. 2 ⊢ (A < B ↔ (A + (-A + -B)) < (B + (-A + -B)))
7	1	recn 5286	. . . . . 6 ⊢ A ∈ ℂ
8	7	negid 5352	. . . . 5 ⊢ (A + -A) = 0
9	8	opreq1i 3956	. . . 4 ⊢ ((A + -A) + -B) = (0 + -B)
10	3	recn 5286	. . . . 5 ⊢ -A ∈ ℂ
11	4	recn 5286	. . . . 5 ⊢ -B ∈ ℂ
12	7, 10, 11	addass 5296	. . . 4 ⊢ ((A + -A) + -B) = (A + (-A + -B))
13	11	addid2 5303	. . . 4 ⊢ (0 + -B) = -B
14	9, 12, 13	3eqtr3 1495	. . 3 ⊢ (A + (-A + -B)) = -B
15	2	recn 5286	. . . . 5 ⊢ B ∈ ℂ
16	15, 10, 11	add12 5312	. . . 4 ⊢ (B + (-A + -B)) = (-A + (B + -B))
17	15	negid 5352	. . . . 5 ⊢ (B + -B) = 0
18	17	opreq2i 3957	. . . 4 ⊢ (-A + (B + -B)) = (-A + 0)
19	10	addid1 5302	. . . 4 ⊢ (-A + 0) = -A
20	16, 18, 19	3eqtr 1491	. . 3 ⊢ (B + (-A + -B)) = -A
21	14, 20	breq12i 2618	. 2 ⊢ ((A + (-A + -B)) < (B + (-A + -B)) ↔ -B < -A)
22	6, 21	bitr 173	1 ⊢ (A < B ↔ -B < -A)

Syntax hints:   ↔ wb 146   ∈ wcel 955   class class class wbr 2609  (class class class)co 3948  ℝcr 5205  0cc0 5206   + caddc 5209  -cneg 5265   < clt 5458

This theorem is referenced by:  leneg 5578  ltnegcon2 5579  msqgt0 5587  ltnegt 5628  dsupivthlem 7226  pilem1 8590

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463

Copyright terms: Public domain