Theorem ltmullem 5614

Description: Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20.

Hypotheses

Ref	Expression
ltsubadd.1	⊢ A ∈ ℝ
ltsubadd.2	⊢ B ∈ ℝ
ltsubadd.3	⊢ C ∈ ℝ

Assertion

Ref	Expression
ltmullem	⊢ (0 < C → (A < B → (A · C) < (B · C)))

Proof of Theorem ltmullem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsubadd.2	. . . . 5 ⊢ B ∈ ℝ
2		ltsubadd.1	. . . . 5 ⊢ A ∈ ℝ
3	1, 2	resubcl 5411	. . . 4 ⊢ (B − A) ∈ ℝ
4		ltsubadd.3	. . . 4 ⊢ C ∈ ℝ
5	3, 4	mulgt0 5580	. . 3 ⊢ ((0 < (B − A) ⋀ 0 < C) → 0 < ((B − A) · C))
6	5	expcom 374	. 2 ⊢ (0 < C → (0 < (B − A) → 0 < ((B − A) · C)))
7	2	recn 5286	. . . . 5 ⊢ A ∈ ℂ
8	7	addid2 5303	. . . 4 ⊢ (0 + A) = A
9	8	breq1i 2616	. . 3 ⊢ ((0 + A) < B ↔ A < B)
10		0re 5412	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
11	10, 2, 1	ltaddsub 5613	. . 3 ⊢ ((0 + A) < B ↔ 0 < (B − A))
12	9, 11	bitr3 175	. 2 ⊢ (A < B ↔ 0 < (B − A))
13	1	recn 5286	. . . . 5 ⊢ B ∈ ℂ
14	4	recn 5286	. . . . 5 ⊢ C ∈ ℂ
15	13, 7, 14	subdir 5402	. . . 4 ⊢ ((B − A) · C) = ((B · C) − (A · C))
16	15	breq2i 2617	. . 3 ⊢ (0 < ((B − A) · C) ↔ 0 < ((B · C) − (A · C)))
17	2, 4	remulcl 5307	. . . 4 ⊢ (A · C) ∈ ℝ
18	1, 4	remulcl 5307	. . . 4 ⊢ (B · C) ∈ ℝ
19	10, 17, 18	ltaddsub 5613	. . 3 ⊢ ((0 + (A · C)) < (B · C) ↔ 0 < ((B · C) − (A · C)))
20	17	recn 5286	. . . . 5 ⊢ (A · C) ∈ ℂ
21	20	addid2 5303	. . . 4 ⊢ (0 + (A · C)) = (A · C)
22	21	breq1i 2616	. . 3 ⊢ ((0 + (A · C)) < (B · C) ↔ (A · C) < (B · C))
23	16, 19, 22	3bitr2r 180	. 2 ⊢ ((A · C) < (B · C) ↔ 0 < ((B − A) · C))
24	6, 12, 23	3imtr4g 551	1 ⊢ (0 < C → (A < B → (A · C) < (B · C)))

Syntax hints:   → wi 3   ∈ wcel 955   class class class wbr 2609  (class class class)co 3948  ℝcr 5205  0cc0 5206   + caddc 5209   · cmul 5211   − cmin 5264   < clt 5458

This theorem is referenced by:  prodgt0lem 5774  ltmul1i 5777

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463

Copyright terms: Public domain