Theorem ltmul1t 5794

Description: Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20.

Assertion

Ref	Expression
ltmul1t	⊢ (((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ C ∈ ℝ) ⋀ 0 < C) → (A < B ↔ (A · C) < (B · C)))

Proof of Theorem ltmul1t

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 2617	. . . . 5 ⊢ (A = if(A ∈ ℝ, A, 0) → (A < B ↔ if(A ∈ ℝ, A, 0) < B))
2		opreq1 3959	. . . . . 6 ⊢ (A = if(A ∈ ℝ, A, 0) → (A · C) = ( if(A ∈ ℝ, A, 0) · C))
3	2	breq1d 2624	. . . . 5 ⊢ (A = if(A ∈ ℝ, A, 0) → ((A · C) < (B · C) ↔ ( if(A ∈ ℝ, A, 0) · C) < (B · C)))
4	1, 3	bibi12d 628	. . . 4 ⊢ (A = if(A ∈ ℝ, A, 0) → ((A < B ↔ (A · C) < (B · C)) ↔ ( if(A ∈ ℝ, A, 0) < B ↔ ( if(A ∈ ℝ, A, 0) · C) < (B · C))))
5	4	imbi2d 611	. . 3 ⊢ (A = if(A ∈ ℝ, A, 0) → ((0 < C → (A < B ↔ (A · C) < (B · C))) ↔ (0 < C → ( if(A ∈ ℝ, A, 0) < B ↔ ( if(A ∈ ℝ, A, 0) · C) < (B · C)))))
6		breq2 2618	. . . . 5 ⊢ (B = if(B ∈ ℝ, B, 0) → ( if(A ∈ ℝ, A, 0) < B ↔ if(A ∈ ℝ, A, 0) < if(B ∈ ℝ, B, 0)))
7		opreq1 3959	. . . . . 6 ⊢ (B = if(B ∈ ℝ, B, 0) → (B · C) = ( if(B ∈ ℝ, B, 0) · C))
8	7	breq2d 2625	. . . . 5 ⊢ (B = if(B ∈ ℝ, B, 0) → (( if(A ∈ ℝ, A, 0) · C) < (B · C) ↔ ( if(A ∈ ℝ, A, 0) · C) < ( if(B ∈ ℝ, B, 0) · C)))
9	6, 8	bibi12d 628	. . . 4 ⊢ (B = if(B ∈ ℝ, B, 0) → (( if(A ∈ ℝ, A, 0) < B ↔ ( if(A ∈ ℝ, A, 0) · C) < (B · C)) ↔ ( if(A ∈ ℝ, A, 0) < if(B ∈ ℝ, B, 0) ↔ ( if(A ∈ ℝ, A, 0) · C) < ( if(B ∈ ℝ, B, 0) · C))))
10	9	imbi2d 611	. . 3 ⊢ (B = if(B ∈ ℝ, B, 0) → ((0 < C → ( if(A ∈ ℝ, A, 0) < B ↔ ( if(A ∈ ℝ, A, 0) · C) < (B · C))) ↔ (0 < C → ( if(A ∈ ℝ, A, 0) < if(B ∈ ℝ, B, 0) ↔ ( if(A ∈ ℝ, A, 0) · C) < ( if(B ∈ ℝ, B, 0) · C)))))
11		breq2 2618	. . . 4 ⊢ (C = if(C ∈ ℝ, C, 0) → (0 < C ↔ 0 < if(C ∈ ℝ, C, 0)))
12		opreq2 3960	. . . . . 6 ⊢ (C = if(C ∈ ℝ, C, 0) → ( if(A ∈ ℝ, A, 0) · C) = ( if(A ∈ ℝ, A, 0) · if(C ∈ ℝ, C, 0)))
13		opreq2 3960	. . . . . 6 ⊢ (C = if(C ∈ ℝ, C, 0) → ( if(B ∈ ℝ, B, 0) · C) = ( if(B ∈ ℝ, B, 0) · if(C ∈ ℝ, C, 0)))
14	12, 13	breq12d 2626	. . . . 5 ⊢ (C = if(C ∈ ℝ, C, 0) → (( if(A ∈ ℝ, A, 0) · C) < ( if(B ∈ ℝ, B, 0) · C) ↔ ( if(A ∈ ℝ, A, 0) · if(C ∈ ℝ, C, 0)) < ( if(B ∈ ℝ, B, 0) · if(C ∈ ℝ, C, 0))))
15	14	bibi2d 617	. . . 4 ⊢ (C = if(C ∈ ℝ, C, 0) → (( if(A ∈ ℝ, A, 0) < if(B ∈ ℝ, B, 0) ↔ ( if(A ∈ ℝ, A, 0) · C) < ( if(B ∈ ℝ, B, 0) · C)) ↔ ( if(A ∈ ℝ, A, 0) < if(B ∈ ℝ, B, 0) ↔ ( if(A ∈ ℝ, A, 0) · if(C ∈ ℝ, C, 0)) < ( if(B ∈ ℝ, B, 0) · if(C ∈ ℝ, C, 0)))))
16	11, 15	imbi12d 625	. . 3 ⊢ (C = if(C ∈ ℝ, C, 0) → ((0 < C → ( if(A ∈ ℝ, A, 0) < if(B ∈ ℝ, B, 0) ↔ ( if(A ∈ ℝ, A, 0) · C) < ( if(B ∈ ℝ, B, 0) · C))) ↔ (0 < if(C ∈ ℝ, C, 0) → ( if(A ∈ ℝ, A, 0) < if(B ∈ ℝ, B, 0) ↔ ( if(A ∈ ℝ, A, 0) · if(C ∈ ℝ, C, 0)) < ( if(B ∈ ℝ, B, 0) · if(C ∈ ℝ, C, 0))))))
17		0re 5420	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℝ
18	17	elimel 2390	. . . 4 ⊢ if(A ∈ ℝ, A, 0) ∈ ℝ
19	17	elimel 2390	. . . 4 ⊢ if(B ∈ ℝ, B, 0) ∈ ℝ
20	17	elimel 2390	. . . 4 ⊢ if(C ∈ ℝ, C, 0) ∈ ℝ
21	18, 19, 20	ltmul1 5786	. . 3 ⊢ (0 < if(C ∈ ℝ, C, 0) → ( if(A ∈ ℝ, A, 0) < if(B ∈ ℝ, B, 0) ↔ ( if(A ∈ ℝ, A, 0) · if(C ∈ ℝ, C, 0)) < ( if(B ∈ ℝ, B, 0) · if(C ∈ ℝ, C, 0))))
22	5, 10, 16, 21	dedth3h 2384	. 2 ⊢ ((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ C ∈ ℝ) → (0 < C → (A < B ↔ (A · C) < (B · C))))
23	22	imp 350	1 ⊢ (((A ∈ ℝ ⋀ B ∈ ℝ ⋀ C ∈ ℝ) ⋀ 0 < C) → (A < B ↔ (A · C) < (B · C)))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 774   = wceq 954   ∈ wcel 956   ifcif 2357   class class class wbr 2614  (class class class)co 3954  ℝcr 5213  0cc0 5214   · cmul 5219   < clt 5466

This theorem is referenced by:  ltmul2t 5795  lemul1t 5796  ltdiv23t 5848  recp1lt1 5857  ltdivp1 5863  expordit 6539  climmullem4 7067  efcltlem1 7254

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471

Copyright terms: Public domain