Theorem ltmul1i 5777

Description: Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. (Proof shortened by Paul Chapman, 25-Jan-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltmul1.1	⊢ A ∈ ℝ
ltmul1.2	⊢ B ∈ ℝ
ltmul1.3	⊢ C ∈ ℝ
ltmul1i.4	⊢ 0 < C

Assertion

Ref	Expression
ltmul1i	⊢ (A < B ↔ (A · C) < (B · C))

Proof of Theorem ltmul1i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmul1i.4	. . 3 ⊢ 0 < C
2		ltmul1.1	. . . 4 ⊢ A ∈ ℝ
3		ltmul1.2	. . . 4 ⊢ B ∈ ℝ
4		ltmul1.3	. . . 4 ⊢ C ∈ ℝ
5	2, 3, 4	ltmullem 5614	. . 3 ⊢ (0 < C → (A < B → (A · C) < (B · C)))
6	1, 5	ax-mp 7	. 2 ⊢ (A < B → (A · C) < (B · C))
7	3, 2, 4	ltmullem 5614	. . . . . . 7 ⊢ (0 < C → (B < A → (B · C) < (A · C)))
8	1, 7	ax-mp 7	. . . . . 6 ⊢ (B < A → (B · C) < (A · C))
9		opreq1 3953	. . . . . 6 ⊢ (B = A → (B · C) = (A · C))
10	8, 9	orim12i 336	. . . . 5 ⊢ ((B < A ⋁ B = A) → ((B · C) < (A · C) ⋁ (B · C) = (A · C)))
11	3, 2	leloe 5548	. . . . 5 ⊢ (B ≤ A ↔ (B < A ⋁ B = A))
12	3, 4	remulcl 5307	. . . . . 6 ⊢ (B · C) ∈ ℝ
13	2, 4	remulcl 5307	. . . . . 6 ⊢ (A · C) ∈ ℝ
14	12, 13	leloe 5548	. . . . 5 ⊢ ((B · C) ≤ (A · C) ↔ ((B · C) < (A · C) ⋁ (B · C) = (A · C)))
15	10, 11, 14	3imtr4 219	. . . 4 ⊢ (B ≤ A → (B · C) ≤ (A · C))
16	3, 2	lenlt 5551	. . . 4 ⊢ (B ≤ A ↔ ¬ A < B)
17	12, 13	lenlt 5551	. . . 4 ⊢ ((B · C) ≤ (A · C) ↔ ¬ (A · C) < (B · C))
18	15, 16, 17	3imtr3 218	. . 3 ⊢ (¬ A < B → ¬ (A · C) < (B · C))
19	18	a3i 74	. 2 ⊢ ((A · C) < (B · C) → A < B)
20	6, 19	impbi 157	1 ⊢ (A < B ↔ (A · C) < (B · C))

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ↔ wb 146   ⋁ wo 222   = wceq 953   ∈ wcel 955   class class class wbr 2609  (class class class)co 3948  ℝcr 5205  0cc0 5206   · cmul 5211   ≤ cle 5267   < clt 5458

This theorem is referenced by:  ltmul1 5778  ltdiv1i 5779  sqrlem1 6603  sqr2irrlem1 6654  sincos6thpi 8628  efifolem3 8639  efifolem6 8642

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463

Copyright terms: Public domain