Theorem lt01 5661

Description: 0 is less than 1. Theorem I.21 of [Apostol] p. 20.

Assertion

Ref	Expression
lt01	⊢ 0 < 1

Proof of Theorem lt01

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax1ne0 5260	. . 3 ⊢ 1 ≠ 0
2		1re 5415	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
3	2	msqgt0 5595	. . 3 ⊢ (1 ≠ 0 → 0 < (1 · 1))
4	1, 3	ax-mp 7	. 2 ⊢ 0 < (1 · 1)
5		ax1cn 5249	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
6	5	mulid1 5312	. 2 ⊢ (1 · 1) = 1
7	4, 6	breqtr 2633	1 ⊢ 0 < 1

Syntax hints:   ≠ wne 1582   class class class wbr 2614  (class class class)co 3954  0cc0 5214  1c1 5215   · cmul 5219   < clt 5466

This theorem is referenced by:  eqneg 5768  elimgt0 5773  ltp1t 5775  recgt0i 5778  ltm1t 5779  mulgt1t 5809  lemulge11t 5812  recgt0t 5823  reclt1t 5854  recgt1t 5855  recgt1it 5856  recp1lt1 5857  recrecltt 5858  halfpos 5860  posex 5864  nnge1t 5899  nngt0t 5902  0nnn 5904  nnrecgt0t 5908  nnleltp1t 5909  2pos 5944  3pos 5946  4pos 5947  5pos 5948  6pos 5949  7pos 5950  8pos 5951  9pos 5952  10pos 5953  halflt1 5985  lt0nnn0 6071  elnnz1 6110  zltp1let 6136  recnzt 6146  rpexpclt 6522  expgt0t 6528  expge0t 6530  expordit 6539  exple1t 6546  expnbndt 6593  nnesq 6600  sqrlem1 6611  sqrlem2 6612  sqrlem3 6613  sqrlem6 6616  sqrlem8 6618  sqrlem9 6619  sqrlem10 6620  sqrlem11 6621  sqrlem16 6626  sqrlem19 6629  sqrlem20 6630  sqrlem21 6631  sqrlem22 6632  sqr1 6654  sqr2gt1lt2 6657  inelr 6673  nthruz 6685  absexpt 6811  abs1m 6849  caubnd 6871  faclbnd3 6892  faclbnd4lem1 6893  bcpasc 6915  climmullem1 7064  climmullem2 7065  climmullem3 7066  climmullem4 7067  fnsmnt 7169  expcnvlem2 7171  expcnvlem5 7174  geolim 7180  geolim1 7182  georeclim 7183  geoisumr 7186  mulc1cncf 7222  efcltlem1 7254  ef01tlub 7335  absef01tlub 7337  eirrlem4 7341  efgt0 7353  eflegeolem2 7362  eflegeot 7364  efm1legeot 7366  efcnlem4 7370  reeff1olem1 7372  reeff1olem1OLD 7374  sinbndt 7415  cosbndt 7416  cos1bnd 7424  sin01gt0 7426  sincos1sgn 7429  blex 7801  opnm 7812  tgioolem 7866  dscmet 7870  caun0 7896  nvm1 8244  nvmtri 8251  nv1 8256  sm1cnilem 8294  nmosetn0 8373  nmo0 8396  blocnilem 8408  minveclem25 8513  sinhalfpilem 8617  efifolem1 8656  efifolem5 8660  efifolem7 8662  circgrpOLD 8677  log1 8705  normlem7tALT 8924  norm-ii 8943  normsub 8947  norm1t 9060  projlem2 9126  projlem6 9130  projlem28 9152  nmopsetn0 9732  nmfnsetn0 9745  nmopge0t 9774  nmfnge0t 9790  0cnop 9842  0cnfn 9843  nmop0 9849  nmfn0 9850  nmcopexlem2 9890  nmcopexlem5 9893  nmcfnexlem2 9919  nmcfnexlem5 9922  hstle1t 10091  strlem1 10115  strlem3a 10117  strlem5 10120  jplem1 10133  iintlem2 10513

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471

Copyright terms: Public domain