Theorem lnopuni 9875

Description: If a linear operator (whose range is ℋ) is idempotent in the norm, the operator is unitary. Similar to theorem in [AkhiezerGlazman] p. 73.

Hypotheses

Ref	Expression
lnopuni.1	⊢ T ∈ LinOp
lnopuni.2	⊢ T: ℋ –onto→ ℋ
lnopuni.3	⊢ ∀x ∈ ℋ (normh ‘(T ‘x)) = (normh ‘x)

Assertion

Ref	Expression
lnopuni	⊢ T ∈ UniOp

Distinct variable group:   x,T

Proof of Theorem lnopuni

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elunopt 9739	. 2 ⊢ (T ∈ UniOp ↔ (T: ℋ –onto→ ℋ ⋀ ∀x ∈ ℋ ∀y ∈ ℋ ((T ‘x) ·ih (T ‘y)) = (x ·ih y)))
2		lnopuni.2	. 2 ⊢ T: ℋ –onto→ ℋ
3		fveq2 3715	. . . . . 6 ⊢ (x = if(x ∈ ℋ , x, 0h) → (T ‘x) = (T ‘ if(x ∈ ℋ , x, 0h)))
4	3	opreq1d 3966	. . . . 5 ⊢ (x = if(x ∈ ℋ , x, 0h) → ((T ‘x) ·ih (T ‘y)) = ((T ‘ if(x ∈ ℋ , x, 0h)) ·ih (T ‘y)))
5		opreq1 3959	. . . . 5 ⊢ (x = if(x ∈ ℋ , x, 0h) → (x ·ih y) = ( if(x ∈ ℋ , x, 0h) ·ih y))
6	4, 5	eqeq12d 1486	. . . 4 ⊢ (x = if(x ∈ ℋ , x, 0h) → (((T ‘x) ·ih (T ‘y)) = (x ·ih y) ↔ ((T ‘ if(x ∈ ℋ , x, 0h)) ·ih (T ‘y)) = ( if(x ∈ ℋ , x, 0h) ·ih y)))
7		fveq2 3715	. . . . . 6 ⊢ (y = if(y ∈ ℋ , y, 0h) → (T ‘y) = (T ‘ if(y ∈ ℋ , y, 0h)))
8	7	opreq2d 3967	. . . . 5 ⊢ (y = if(y ∈ ℋ , y, 0h) → ((T ‘ if(x ∈ ℋ , x, 0h)) ·ih (T ‘y)) = ((T ‘ if(x ∈ ℋ , x, 0h)) ·ih (T ‘ if(y ∈ ℋ , y, 0h))))
9		opreq2 3960	. . . . 5 ⊢ (y = if(y ∈ ℋ , y, 0h) → ( if(x ∈ ℋ , x, 0h) ·ih y) = ( if(x ∈ ℋ , x, 0h) ·ih if(y ∈ ℋ , y, 0h)))
10	8, 9	eqeq12d 1486	. . . 4 ⊢ (y = if(y ∈ ℋ , y, 0h) → (((T ‘ if(x ∈ ℋ , x, 0h)) ·ih (T ‘y)) = ( if(x ∈ ℋ , x, 0h) ·ih y) ↔ ((T ‘ if(x ∈ ℋ , x, 0h)) ·ih (T ‘ if(y ∈ ℋ , y, 0h))) = ( if(x ∈ ℋ , x, 0h) ·ih if(y ∈ ℋ , y, 0h))))
11		lnopuni.1	. . . . 5 ⊢ T ∈ LinOp
12		lnopuni.3	. . . . 5 ⊢ ∀x ∈ ℋ (normh ‘(T ‘x)) = (normh ‘x)
13		ax-hv0cl 8812	. . . . . 6 ⊢ 0h ∈ ℋ
14	13	elimel 2390	. . . . 5 ⊢ if(x ∈ ℋ , x, 0h) ∈ ℋ
15	13	elimel 2390	. . . . 5 ⊢ if(y ∈ ℋ , y, 0h) ∈ ℋ
16	11, 12, 14, 15	lnopunilem2 9874	. . . 4 ⊢ ((T ‘ if(x ∈ ℋ , x, 0h)) ·ih (T ‘ if(y ∈ ℋ , y, 0h))) = ( if(x ∈ ℋ , x, 0h) ·ih if(y ∈ ℋ , y, 0h))
17	6, 10, 16	dedth2h 2383	. . 3 ⊢ ((x ∈ ℋ ⋀ y ∈ ℋ ) → ((T ‘x) ·ih (T ‘y)) = (x ·ih y))
18	17	rgen2a 1696	. 2 ⊢ ∀x ∈ ℋ ∀y ∈ ℋ ((T ‘x) ·ih (T ‘y)) = (x ·ih y)
19	1, 2, 18	mpbir2an 729	1 ⊢ T ∈ UniOp

Syntax hints:   = wceq 954   ∈ wcel 956  ∀wral 1642   ifcif 2357  –onto→wfo 3175   ‘cfv 3177  (class class class)co 3954   ℋ chil 8727  0_hc0v 8730   ·_ih csp 8732  norm_hcno 8733  LinOpclo 8755  UniOpcuo 8757

This theorem is referenced by:  elunop2t 9876

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605  ax-hilex 8808  ax-hfvadd 8809  ax-hv0cl 8812  ax-hfvmul 8814  ax-hvmul0 8819  ax-hfi 8885  ax-his1 8888  ax-his2 8889  ax-his3 8890  ax-his4 8891

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-sup 4554  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-n0 6055  df-z 6091  df-seq1 6253  df-exp 6509  df-sqr 6608  df-re 6690  df-im 6691  df-cj 6692  df-hnorm 8776  df-lnop 9707  df-unop 9709

Copyright terms: Public domain