Theorem hst1ht 10162

Description: The norm of a Hilbert-space-valued state equals one iff the state value equals the state value of the lattice unit.

Assertion

Ref	Expression
hst1ht	⊢ ((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) → ((normh ‘(S ‘A)) = 1 ↔ (S ‘A) = (S ‘ ℋ )))

Proof of Theorem hst1ht

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hstclt 10152	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((S ∈ CHStates ⋀ (⊥ ‘A) ∈ Cℋ ) → (S ‘(⊥ ‘A)) ∈ ℋ )
2		chocclt 9191	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (A ∈ Cℋ → (⊥ ‘A) ∈ Cℋ )
3	1, 2	sylan2 454	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) → (S ‘(⊥ ‘A)) ∈ ℋ )
4		normclt 8998	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((S ‘(⊥ ‘A)) ∈ ℋ → (normh ‘(S ‘(⊥ ‘A))) ∈ ℝ)
5	3, 4	syl 10	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) → (normh ‘(S ‘(⊥ ‘A))) ∈ ℝ)
6		resqclt 6634	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((normh ‘(S ‘(⊥ ‘A))) ∈ ℝ → ((normh ‘(S ‘(⊥ ‘A)))↑2) ∈ ℝ)
7	5, 6	syl 10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) → ((normh ‘(S ‘(⊥ ‘A)))↑2) ∈ ℝ)
8	7	recnd 5328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) → ((normh ‘(S ‘(⊥ ‘A)))↑2) ∈ ℂ)
9		ax1cn 5282	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
10		pncan2t 5411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((1 ∈ ℂ ⋀ ((normh ‘(S ‘(⊥ ‘A)))↑2) ∈ ℂ) → ((1 + ((normh ‘(S ‘(⊥ ‘A)))↑2)) − 1) = ((normh ‘(S ‘(⊥ ‘A)))↑2))
11	9, 10	mpan 699	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((normh ‘(S ‘(⊥ ‘A)))↑2) ∈ ℂ → ((1 + ((normh ‘(S ‘(⊥ ‘A)))↑2)) − 1) = ((normh ‘(S ‘(⊥ ‘A)))↑2))
12	8, 11	syl 10	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) → ((1 + ((normh ‘(S ‘(⊥ ‘A)))↑2)) − 1) = ((normh ‘(S ‘(⊥ ‘A)))↑2))
13	12	adantr 391	. . . . . . . . 9 ⊢ (((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) ⋀ (normh ‘(S ‘A)) = 1) → ((1 + ((normh ‘(S ‘(⊥ ‘A)))↑2)) − 1) = ((normh ‘(S ‘(⊥ ‘A)))↑2))
14		opreq1 3982	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((normh ‘(S ‘A)) = 1 → ((normh ‘(S ‘A))↑2) = (1↑2))
15		sq1 6650	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (1↑2) = 1
16	14, 15	syl6req 1531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((normh ‘(S ‘A)) = 1 → 1 = ((normh ‘(S ‘A))↑2))
17	16	opreq1d 3989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((normh ‘(S ‘A)) = 1 → (1 + ((normh ‘(S ‘(⊥ ‘A)))↑2)) = (((normh ‘(S ‘A))↑2) + ((normh ‘(S ‘(⊥ ‘A)))↑2)))
18		hstnmoct 10158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) → (((normh ‘(S ‘A))↑2) + ((normh ‘(S ‘(⊥ ‘A)))↑2)) = 1)
19	17, 18	sylan9eqr 1536	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) ⋀ (normh ‘(S ‘A)) = 1) → (1 + ((normh ‘(S ‘(⊥ ‘A)))↑2)) = 1)
20	19	opreq1d 3989	. . . . . . . . 9 ⊢ (((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) ⋀ (normh ‘(S ‘A)) = 1) → ((1 + ((normh ‘(S ‘(⊥ ‘A)))↑2)) − 1) = (1 − 1))
21	13, 20	eqtr3d 1516	. . . . . . . 8 ⊢ (((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) ⋀ (normh ‘(S ‘A)) = 1) → ((normh ‘(S ‘(⊥ ‘A)))↑2) = (1 − 1))
22	9	subid 5404	. . . . . . . 8 ⊢ (1 − 1) = 0
23	21, 22	syl6eq 1530	. . . . . . 7 ⊢ (((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) ⋀ (normh ‘(S ‘A)) = 1) → ((normh ‘(S ‘(⊥ ‘A)))↑2) = 0)
24	23	ex 373	. . . . . 6 ⊢ ((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) → ((normh ‘(S ‘A)) = 1 → ((normh ‘(S ‘(⊥ ‘A)))↑2) = 0))
25	5	recnd 5328	. . . . . . . 8 ⊢ ((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) → (normh ‘(S ‘(⊥ ‘A))) ∈ ℂ)
26		sqeq0t 6626	. . . . . . . 8 ⊢ ((normh ‘(S ‘(⊥ ‘A))) ∈ ℂ → (((normh ‘(S ‘(⊥ ‘A)))↑2) = 0 ↔ (normh ‘(S ‘(⊥ ‘A))) = 0))
27	25, 26	syl 10	. . . . . . 7 ⊢ ((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) → (((normh ‘(S ‘(⊥ ‘A)))↑2) = 0 ↔ (normh ‘(S ‘(⊥ ‘A))) = 0))
28		norm-it 9003	. . . . . . . 8 ⊢ ((S ‘(⊥ ‘A)) ∈ ℋ → ((normh ‘(S ‘(⊥ ‘A))) = 0 ↔ (S ‘(⊥ ‘A)) = 0h))
29	3, 28	syl 10	. . . . . . 7 ⊢ ((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) → ((normh ‘(S ‘(⊥ ‘A))) = 0 ↔ (S ‘(⊥ ‘A)) = 0h))
30	27, 29	bitrd 531	. . . . . 6 ⊢ ((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) → (((normh ‘(S ‘(⊥ ‘A)))↑2) = 0 ↔ (S ‘(⊥ ‘A)) = 0h))
31	24, 30	sylibd 202	. . . . 5 ⊢ ((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) → ((normh ‘(S ‘A)) = 1 → (S ‘(⊥ ‘A)) = 0h))
32	31	imp 350	. . . 4 ⊢ (((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) ⋀ (normh ‘(S ‘A)) = 1) → (S ‘(⊥ ‘A)) = 0h)
33	32	opreq2d 3990	. . 3 ⊢ (((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) ⋀ (normh ‘(S ‘A)) = 1) → ((S ‘A) +h (S ‘(⊥ ‘A))) = ((S ‘A) +h 0h))
34		hstoct 10157	. . . 4 ⊢ ((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) → ((S ‘A) +h (S ‘(⊥ ‘A))) = (S ‘ ℋ ))
35	34	adantr 391	. . 3 ⊢ (((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) ⋀ (normh ‘(S ‘A)) = 1) → ((S ‘A) +h (S ‘(⊥ ‘A))) = (S ‘ ℋ ))
36		hstclt 10152	. . . . 5 ⊢ ((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) → (S ‘A) ∈ ℋ )
37		ax-hvaddid 8881	. . . . 5 ⊢ ((S ‘A) ∈ ℋ → ((S ‘A) +h 0h) = (S ‘A))
38	36, 37	syl 10	. . . 4 ⊢ ((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) → ((S ‘A) +h 0h) = (S ‘A))
39	38	adantr 391	. . 3 ⊢ (((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) ⋀ (normh ‘(S ‘A)) = 1) → ((S ‘A) +h 0h) = (S ‘A))
40	33, 35, 39	3eqtr3rd 1523	. 2 ⊢ (((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) ⋀ (normh ‘(S ‘A)) = 1) → (S ‘A) = (S ‘ ℋ ))
41		fveq2 3738	. . 3 ⊢ ((S ‘A) = (S ‘ ℋ ) → (normh ‘(S ‘A)) = (normh ‘(S ‘ ℋ )))
42		hst1t 10153	. . . 4 ⊢ (S ∈ CHStates → (normh ‘(S ‘ ℋ )) = 1)
43	42	adantr 391	. . 3 ⊢ ((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) → (normh ‘(S ‘ ℋ )) = 1)
44	41, 43	sylan9eqr 1536	. 2 ⊢ (((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) ⋀ (S ‘A) = (S ‘ ℋ )) → (normh ‘(S ‘A)) = 1)
45	40, 44	impbida 522	1 ⊢ ((S ∈ CHStates ⋀ A ∈ Cℋ ) → ((normh ‘(S ‘A)) = 1 ↔ (S ‘A) = (S ‘ ℋ )))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   = wceq 960   ∈ wcel 962   ‘cfv 3196  (class class class)co 3977  ℂcc 5245  ℝcr 5246  0cc0 5247  1c1 5248   + caddc 5250   − cmin 5305  2c2 5967  ↑cexp 6581   ℋ chil 8795   +_h cva 8796  0_hc0v 8798  norm_hcno 8801   C_ℋ cch 8805  ⊥cort 8806  CHStateschst 8839

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1129  ax-10o 1146  ax-16 1216  ax-11o 1224  ax-ext 1466  ax-rep 2706  ax-sep 2716  ax-nul 2723  ax-pow 2756  ax-pr 2793  ax-un 2880  ax-reg 4603  ax-inf2 4637  ax-ac 4756  ax-hilex 8876  ax-hfvadd 8877  ax-hvcom 8878  ax-hvass 8879  ax-hv0cl 8880  ax-hvaddid 8881  ax-hfvmul 8882  ax-hvmulid 8883  ax-hvmulass 8884  ax-hvdistr1 8885  ax-hvdistr2 8886  ax-hvmul0 8887  ax-hfi 8953  ax-his1 8956  ax-his2 8957  ax-his3 8958  ax-his4 8959  ax-hcompl 9078

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 780  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1178  df-eu 1388  df-mo 1389  df-clab 1471  df-cleq 1476  df-clel 1479  df-ne 1594  df-nel 1595  df-ral 1656  df-rex 1657  df-reu 1658  df-rab 1659  df-v 1819  df-sbc 1949  df-csb 2010  df-dif 2058  df-un 2059  df-in 2060  df-ss 2062  df-pss 2064  df-nul 2290  df-if 2372  df-pw 2412  df-sn 2422  df-pr 2423  df-tp 2425  df-op 2426  df-uni 2516  df-int 2546  df-iun 2580  df-iin 2581  df-br 2633  df-opab 2680  df-tr 2694  df-eprel 2846  df-id 2849  df-po 2854  df-so 2864  df-fr 2931  df-we 2948  df-ord 2965  df-on 2966  df-lim 2967  df-suc 2968  df-om 3146  df-xp 3198  df-rel 3199  df-cnv 3200  df-co 3201  df-dm 3202  df-rn 3203  df-res 3204  df-ima 3205  df-fun 3206  df-fn 3207  df-f 3208  df-f1 3209  df-fo 3210  df-f1o 3211  df-fv 3212  df-rdg 3946  df-opr 3979  df-oprab 3980  df-1st 4093  df-2nd 4094  df-1o 4147  df-oadd 4149  df-omul 4150  df-er 4275  df-ec 4277  df-qs 4280  df-map 4338  df-en 4382  df-dom 4383  df-sdom 4384  df-sup 4584  df-r1 4655  df-rank 4656  df-ni 5013  df-pli 5014  df-mi 5015  df-lti 5016  df-plpq 5048  df-mpq 5049  df-enq 5050  df-nq 5051  df-plq 5052  df-mq 5053  df-rq 5054  df-ltq 5055  df-1q 5056  df-np 5099  df-1p 5100  df-plp 5101  df-mp 5102  df-ltp 5103  df-plpr 5177  df-mpr 5178  df-enr 5179  df-nr 5180  df-plr 5181  df-mr 5182  df-ltr 5183  df-0r 5184  df-1r 5185  df-m1r 5186  df-c 5253  df-0 5254  df-1 5255  df-i 5256  df-r 5257  df-plus 5258  df-mul 5259  df-lt 5260  df-sub 5369  df-neg 5371  df-pnf 5500  df-mnf 5501  df-xr 5502  df-ltxr 5503  df-le 5504  df-div 5716  df-n 5931  df-2 5976  df-3 5977  df-4 5978  df-n0 6106  df-z 6142  df-fl 6233  df-q 6266  df-ioo 6310  df-uz 6368  df-fz 6418  df-seq1 6491  df-shft 6524  df-seqz 6546  df-exp 6582  df-sqr 6684  df-re 6765  df-im 6766  df-cj 6767  df-abs 6768  df-clim 6989  df-sum 6994  df-top 7607  df-bases 7609  df-topgen 7610  df-cld 7672  df-ntr 7673  df-cls 7674  df-cn 7763  df-cnp 7764  df-haus 7791  df-met 7802  df-bl 7804  df-opn 7805  df-lm 7931  df-grp 8046  df-gid 8047  df-ginv 8048  df-gdiv 8049  df-abl 8108  df-vc 8173  df-nv 8219  df-va 8222  df-ba 8223  df-sm 8224  df-0v 8225  df-vs 8226  df-nm 8227  df-ims 8228  df-ip 8358  df-ph 8480  df-hnorm 8844  df-hvsub 8847  df-hlim 8848  df-hcau 8849  df-sh 9083  df-ch 9099  df-oc 9131  df-ch0 9132  df-shsum 9280  df-chj 9282  df-hst 10148

Copyright terms: Public domain