Theorem hisubcom 8977

Description: Two vector subtractions simultaneously commute in an inner product.

Hypotheses

Ref	Expression
hisubcom.1	⊢ A ∈ ℋ
hisubcom.2	⊢ B ∈ ℋ
hisubcom.3	⊢ C ∈ ℋ
hisubcom.4	⊢ D ∈ ℋ

Assertion

Ref	Expression
hisubcom	⊢ ((A −h B) ·ih (C −h D)) = ((B −h A) ·ih (D −h C))

Proof of Theorem hisubcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hisubcom.2	. . . 4 ⊢ B ∈ ℋ
2		hisubcom.1	. . . 4 ⊢ A ∈ ℋ
3	1, 2	hvnegdi 8936	. . 3 ⊢ (-1 ·h (B −h A)) = (A −h B)
4		hisubcom.4	. . . 4 ⊢ D ∈ ℋ
5		hisubcom.3	. . . 4 ⊢ C ∈ ℋ
6	4, 5	hvnegdi 8936	. . 3 ⊢ (-1 ·h (D −h C)) = (C −h D)
7	3, 6	opreq12i 3987	. 2 ⊢ ((-1 ·h (B −h A)) ·ih (-1 ·h (D −h C))) = ((A −h B) ·ih (C −h D))
8		ax1cn 5282	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	8	negcl 5382	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
10	1, 2	hvsubcl 8898	. . . 4 ⊢ (B −h A) ∈ ℋ
11	4, 5	hvsubcl 8898	. . . 4 ⊢ (D −h C) ∈ ℋ
12	9, 9, 10, 11	his35 8962	. . 3 ⊢ ((-1 ·h (B −h A)) ·ih (-1 ·h (D −h C))) = ((-1 · (∗ ‘-1)) · ((B −h A) ·ih (D −h C)))
13		1re 5448	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℝ
14	13	renegcl 5429	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ ℝ
15		cjret 6824	. . . . . . 7 ⊢ (-1 ∈ ℝ → (∗ ‘-1) = -1)
16	14, 15	ax-mp 7	. . . . . 6 ⊢ (∗ ‘-1) = -1
17	16	opreq2i 3986	. . . . 5 ⊢ (-1 · (∗ ‘-1)) = (-1 · -1)
18	8, 8	mul2neg 5460	. . . . 5 ⊢ (-1 · -1) = (1 · 1)
19	8	mulid1 5345	. . . . 5 ⊢ (1 · 1) = 1
20	17, 18, 19	3eqtr 1506	. . . 4 ⊢ (-1 · (∗ ‘-1)) = 1
21	20	opreq1i 3985	. . 3 ⊢ ((-1 · (∗ ‘-1)) · ((B −h A) ·ih (D −h C))) = (1 · ((B −h A) ·ih (D −h C)))
22	10, 11	hicl 8955	. . . 4 ⊢ ((B −h A) ·ih (D −h C)) ∈ ℂ
23	22	mulid2 5346	. . 3 ⊢ (1 · ((B −h A) ·ih (D −h C))) = ((B −h A) ·ih (D −h C))
24	12, 21, 23	3eqtr 1506	. 2 ⊢ ((-1 ·h (B −h A)) ·ih (-1 ·h (D −h C))) = ((B −h A) ·ih (D −h C))
25	7, 24	eqtr3 1504	1 ⊢ ((A −h B) ·ih (C −h D)) = ((B −h A) ·ih (D −h C))

Syntax hints:   = wceq 960   ∈ wcel 962   ‘cfv 3196  (class class class)co 3977  ℝcr 5246  1c1 5248   · cmul 5252  -cneg 5306  ∗ccj 6763   ℋ chil 8795   ·_h csm 8797   −_h cmv 8799   ·_ih csp 8800

This theorem is referenced by:  lnophmlem2 9949

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1129  ax-10o 1146  ax-16 1216  ax-11o 1224  ax-ext 1466  ax-rep 2706  ax-sep 2716  ax-nul 2723  ax-pow 2756  ax-pr 2793  ax-un 2880  ax-inf2 4637  ax-hfvadd 8877  ax-hvcom 8878  ax-hfvmul 8882  ax-hvmulid 8883  ax-hvmulass 8884  ax-hvdistr1 8885  ax-hfi 8953  ax-his1 8956  ax-his3 8958

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 780  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1178  df-eu 1388  df-mo 1389  df-clab 1471  df-cleq 1476  df-clel 1479  df-ne 1594  df-nel 1595  df-ral 1656  df-rex 1657  df-reu 1658  df-rab 1659  df-v 1819  df-sbc 1949  df-csb 2010  df-dif 2058  df-un 2059  df-in 2060  df-ss 2062  df-pss 2064  df-nul 2290  df-if 2372  df-pw 2412  df-sn 2422  df-pr 2423  df-tp 2425  df-op 2426  df-uni 2516  df-int 2546  df-iun 2580  df-br 2633  df-opab 2680  df-tr 2694  df-eprel 2846  df-id 2849  df-po 2854  df-so 2864  df-fr 2931  df-we 2948  df-ord 2965  df-on 2966  df-lim 2967  df-suc 2968  df-om 3146  df-xp 3198  df-rel 3199  df-cnv 3200  df-co 3201  df-dm 3202  df-rn 3203  df-res 3204  df-ima 3205  df-fun 3206  df-fn 3207  df-f 3208  df-f1 3209  df-fo 3210  df-f1o 3211  df-fv 3212  df-rdg 3946  df-opr 3979  df-oprab 3980  df-1st 4093  df-2nd 4094  df-1o 4147  df-oadd 4149  df-omul 4150  df-er 4275  df-ec 4277  df-qs 4280  df-en 4382  df-dom 4383  df-sdom 4384  df-ni 5013  df-pli 5014  df-mi 5015  df-lti 5016  df-plpq 5048  df-mpq 5049  df-enq 5050  df-nq 5051  df-plq 5052  df-mq 5053  df-rq 5054  df-ltq 5055  df-1q 5056  df-np 5099  df-1p 5100  df-plp 5101  df-mp 5102  df-ltp 5103  df-plpr 5177  df-mpr 5178  df-enr 5179  df-nr 5180  df-plr 5181  df-mr 5182  df-ltr 5183  df-0r 5184  df-1r 5185  df-m1r 5186  df-c 5253  df-0 5254  df-1 5255  df-i 5256  df-r 5257  df-plus 5258  df-mul 5259  df-lt 5260  df-sub 5369  df-neg 5371  df-pnf 5500  df-mnf 5501  df-xr 5502  df-ltxr 5503  df-le 5504  df-div 5716  df-re 6765  df-im 6766  df-cj 6767  df-hvsub 8847

Copyright terms: Public domain