Theorem fh3 9573

Description: Variation of the Foulis-Holland Theorem.

Hypotheses

Ref	Expression
fh1.1	⊢ A ∈ Cℋ
fh1.2	⊢ B ∈ Cℋ
fh1.3	⊢ C ∈ Cℋ
fh1.4	⊢ A Cℋ B
fh1.5	⊢ A Cℋ C

Assertion

Ref	Expression
fh3	⊢ (A ∨ℋ (B ∩ C)) = ((A ∨ℋ B) ∩ (A ∨ℋ C))

Proof of Theorem fh3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fh1.1	. . . . . 6 ⊢ A ∈ Cℋ
2	1	choccl 9192	. . . . 5 ⊢ (⊥ ‘A) ∈ Cℋ
3		fh1.2	. . . . . 6 ⊢ B ∈ Cℋ
4	3	choccl 9192	. . . . 5 ⊢ (⊥ ‘B) ∈ Cℋ
5		fh1.3	. . . . . 6 ⊢ C ∈ Cℋ
6	5	choccl 9192	. . . . 5 ⊢ (⊥ ‘C) ∈ Cℋ
7		fh1.4	. . . . . . 7 ⊢ A Cℋ B
8	1, 3, 7	cmcm3i 9549	. . . . . 6 ⊢ (⊥ ‘A) Cℋ B
9	2, 3, 8	cmcm2i 9548	. . . . 5 ⊢ (⊥ ‘A) Cℋ (⊥ ‘B)
10		fh1.5	. . . . . . 7 ⊢ A Cℋ C
11	1, 5, 10	cmcm3i 9549	. . . . . 6 ⊢ (⊥ ‘A) Cℋ C
12	2, 5, 11	cmcm2i 9548	. . . . 5 ⊢ (⊥ ‘A) Cℋ (⊥ ‘C)
13	2, 4, 6, 9, 12	fh1 9571	. . . 4 ⊢ ((⊥ ‘A) ∩ ((⊥ ‘B) ∨ℋ (⊥ ‘C))) = (((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B)) ∨ℋ ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘C)))
14	3, 5	chdmm1 9407	. . . . 5 ⊢ (⊥ ‘(B ∩ C)) = ((⊥ ‘B) ∨ℋ (⊥ ‘C))
15	14	ineq2i 2223	. . . 4 ⊢ ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘(B ∩ C))) = ((⊥ ‘A) ∩ ((⊥ ‘B) ∨ℋ (⊥ ‘C)))
16	1, 3	chdmj1 9411	. . . . 5 ⊢ (⊥ ‘(A ∨ℋ B)) = ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B))
17	1, 5	chdmj1 9411	. . . . 5 ⊢ (⊥ ‘(A ∨ℋ C)) = ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘C))
18	16, 17	opreq12i 3987	. . . 4 ⊢ ((⊥ ‘(A ∨ℋ B)) ∨ℋ (⊥ ‘(A ∨ℋ C))) = (((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘B)) ∨ℋ ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘C)))
19	13, 15, 18	3eqtr4r 1513	. . 3 ⊢ ((⊥ ‘(A ∨ℋ B)) ∨ℋ (⊥ ‘(A ∨ℋ C))) = ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘(B ∩ C)))
20	1, 3	chjcl 9387	. . . 4 ⊢ (A ∨ℋ B) ∈ Cℋ
21	1, 5	chjcl 9387	. . . 4 ⊢ (A ∨ℋ C) ∈ Cℋ
22	20, 21	chdmm1 9407	. . 3 ⊢ (⊥ ‘((A ∨ℋ B) ∩ (A ∨ℋ C))) = ((⊥ ‘(A ∨ℋ B)) ∨ℋ (⊥ ‘(A ∨ℋ C)))
23	3, 5	chincl 9390	. . . 4 ⊢ (B ∩ C) ∈ Cℋ
24	1, 23	chdmj1 9411	. . 3 ⊢ (⊥ ‘(A ∨ℋ (B ∩ C))) = ((⊥ ‘A) ∩ (⊥ ‘(B ∩ C)))
25	19, 22, 24	3eqtr4 1512	. 2 ⊢ (⊥ ‘((A ∨ℋ B) ∩ (A ∨ℋ C))) = (⊥ ‘(A ∨ℋ (B ∩ C)))
26	1, 23	chjcl 9387	. . 3 ⊢ (A ∨ℋ (B ∩ C)) ∈ Cℋ
27	20, 21	chincl 9390	. . 3 ⊢ ((A ∨ℋ B) ∩ (A ∨ℋ C)) ∈ Cℋ
28	26, 27	chcon3 9396	. 2 ⊢ ((A ∨ℋ (B ∩ C)) = ((A ∨ℋ B) ∩ (A ∨ℋ C)) ↔ (⊥ ‘((A ∨ℋ B) ∩ (A ∨ℋ C))) = (⊥ ‘(A ∨ℋ (B ∩ C))))
29	25, 28	mpbir 190	1 ⊢ (A ∨ℋ (B ∩ C)) = ((A ∨ℋ B) ∩ (A ∨ℋ C))

Syntax hints:   = wceq 960   ∈ wcel 962   ∩ cin 2055   class class class wbr 2632   ‘cfv 3196  (class class class)co 3977   C_ℋ cch 8805  ⊥cort 8806   ∨_ℋ chj 8809   C_ℋ ccm 8812

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1129  ax-10o 1146  ax-16 1216  ax-11o 1224  ax-ext 1466  ax-rep 2706  ax-sep 2716  ax-nul 2723  ax-pow 2756  ax-pr 2793  ax-un 2880  ax-reg 4603  ax-inf2 4637  ax-ac 4756  ax-hilex 8876  ax-hfvadd 8877  ax-hvcom 8878  ax-hvass 8879  ax-hv0cl 8880  ax-hvaddid 8881  ax-hfvmul 8882  ax-hvmulid 8883  ax-hvmulass 8884  ax-hvdistr1 8885  ax-hvdistr2 8886  ax-hvmul0 8887  ax-hfi 8953  ax-his1 8956  ax-his2 8957  ax-his3 8958  ax-his4 8959  ax-hcompl 9078

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 780  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1178  df-eu 1388  df-mo 1389  df-clab 1471  df-cleq 1476  df-clel 1479  df-ne 1594  df-nel 1595  df-ral 1656  df-rex 1657  df-reu 1658  df-rab 1659  df-v 1819  df-sbc 1949  df-csb 2010  df-dif 2058  df-un 2059  df-in 2060  df-ss 2062  df-pss 2064  df-nul 2290  df-if 2372  df-pw 2412  df-sn 2422  df-pr 2423  df-tp 2425  df-op 2426  df-uni 2516  df-int 2546  df-iun 2580  df-iin 2581  df-br 2633  df-opab 2680  df-tr 2694  df-eprel 2846  df-id 2849  df-po 2854  df-so 2864  df-fr 2931  df-we 2948  df-ord 2965  df-on 2966  df-lim 2967  df-suc 2968  df-om 3146  df-xp 3198  df-rel 3199  df-cnv 3200  df-co 3201  df-dm 3202  df-rn 3203  df-res 3204  df-ima 3205  df-fun 3206  df-fn 3207  df-f 3208  df-f1 3209  df-fo 3210  df-f1o 3211  df-fv 3212  df-rdg 3946  df-opr 3979  df-oprab 3980  df-1st 4093  df-2nd 4094  df-1o 4147  df-oadd 4149  df-omul 4150  df-er 4275  df-ec 4277  df-qs 4280  df-map 4338  df-en 4382  df-dom 4383  df-sdom 4384  df-sup 4584  df-r1 4655  df-rank 4656  df-ni 5013  df-pli 5014  df-mi 5015  df-lti 5016  df-plpq 5048  df-mpq 5049  df-enq 5050  df-nq 5051  df-plq 5052  df-mq 5053  df-rq 5054  df-ltq 5055  df-1q 5056  df-np 5099  df-1p 5100  df-plp 5101  df-mp 5102  df-ltp 5103  df-plpr 5177  df-mpr 5178  df-enr 5179  df-nr 5180  df-plr 5181  df-mr 5182  df-ltr 5183  df-0r 5184  df-1r 5185  df-m1r 5186  df-c 5253  df-0 5254  df-1 5255  df-i 5256  df-r 5257  df-plus 5258  df-mul 5259  df-lt 5260  df-sub 5369  df-neg 5371  df-pnf 5500  df-mnf 5501  df-xr 5502  df-ltxr 5503  df-le 5504  df-div 5716  df-n 5931  df-2 5976  df-3 5977  df-4 5978  df-n0 6106  df-z 6142  df-fl 6233  df-q 6266  df-ioo 6310  df-uz 6368  df-fz 6418  df-seq1 6491  df-shft 6524  df-seqz 6546  df-exp 6582  df-sqr 6684  df-re 6765  df-im 6766  df-cj 6767  df-abs 6768  df-clim 6989  df-sum 6994  df-top 7607  df-bases 7609  df-topgen 7610  df-cld 7672  df-ntr 7673  df-cls 7674  df-cn 7763  df-cnp 7764  df-haus 7791  df-met 7802  df-bl 7804  df-opn 7805  df-lm 7931  df-grp 8046  df-gid 8047  df-ginv 8048  df-gdiv 8049  df-abl 8108  df-vc 8173  df-nv 8219  df-va 8222  df-ba 8223  df-sm 8224  df-0v 8225  df-vs 8226  df-nm 8227  df-ims 8228  df-ip 8358  df-ph 8480  df-hnorm 8844  df-hvsub 8847  df-hlim 8848  df-hcau 8849  df-sh 9083  df-ch 9099  df-oc 9131  df-ch0 9132  df-shsum 9280  df-chj 9282  df-cm 9533

Copyright terms: Public domain