Theorem expcllem 6588

Description: Lemma for proving nonnegative integer exponentiation closure laws.

Hypotheses

Ref	Expression
expcllem.1	⊢ F ⊆ ℂ
expcllem.2	⊢ ((x ∈ F ⋀ y ∈ F) → (x · y) ∈ F)
expcllem.3	⊢ 1 ∈ F

Assertion

Ref	Expression
expcllem	⊢ ((A ∈ F ⋀ B ∈ ℕ0) → (A↑B) ∈ F)

Distinct variable groups:   x,y,A   x,F,y

Proof of Theorem expcllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opreq2 3983	. . . . . . 7 ⊢ (z = 1 → (A↑z) = (A↑1))
2	1	eleq1d 1547	. . . . . 6 ⊢ (z = 1 → ((A↑z) ∈ F ↔ (A↑1) ∈ F))
3	2	imbi2d 615	. . . . 5 ⊢ (z = 1 → ((A ∈ F → (A↑z) ∈ F) ↔ (A ∈ F → (A↑1) ∈ F)))
4		opreq2 3983	. . . . . . 7 ⊢ (z = w → (A↑z) = (A↑w))
5	4	eleq1d 1547	. . . . . 6 ⊢ (z = w → ((A↑z) ∈ F ↔ (A↑w) ∈ F))
6	5	imbi2d 615	. . . . 5 ⊢ (z = w → ((A ∈ F → (A↑z) ∈ F) ↔ (A ∈ F → (A↑w) ∈ F)))
7		opreq2 3983	. . . . . . 7 ⊢ (z = (w + 1) → (A↑z) = (A↑(w + 1)))
8	7	eleq1d 1547	. . . . . 6 ⊢ (z = (w + 1) → ((A↑z) ∈ F ↔ (A↑(w + 1)) ∈ F))
9	8	imbi2d 615	. . . . 5 ⊢ (z = (w + 1) → ((A ∈ F → (A↑z) ∈ F) ↔ (A ∈ F → (A↑(w + 1)) ∈ F)))
10		opreq2 3983	. . . . . . 7 ⊢ (z = B → (A↑z) = (A↑B))
11	10	eleq1d 1547	. . . . . 6 ⊢ (z = B → ((A↑z) ∈ F ↔ (A↑B) ∈ F))
12	11	imbi2d 615	. . . . 5 ⊢ (z = B → ((A ∈ F → (A↑z) ∈ F) ↔ (A ∈ F → (A↑B) ∈ F)))
13		expcllem.1	. . . . . . . . 9 ⊢ F ⊆ ℂ
14	13	sseli 2074	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ F → A ∈ ℂ)
15		exp1t 6586	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ ℂ → (A↑1) = A)
16	14, 15	syl 10	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ F → (A↑1) = A)
17	16	eleq1d 1547	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ F → ((A↑1) ∈ F ↔ A ∈ F))
18	17	ibir 596	. . . . 5 ⊢ (A ∈ F → (A↑1) ∈ F)
19		opreq1 3982	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (x = (A↑w) → (x · y) = ((A↑w) · y))
20	19	eleq1d 1547	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (x = (A↑w) → ((x · y) ∈ F ↔ ((A↑w) · y) ∈ F))
21		opreq2 3983	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (y = A → ((A↑w) · y) = ((A↑w) · A))
22	21	eleq1d 1547	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (y = A → (((A↑w) · y) ∈ F ↔ ((A↑w) · A) ∈ F))
23		expcllem.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((x ∈ F ⋀ y ∈ F) → (x · y) ∈ F)
24	20, 22, 23	vtocl2ga 1860	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((A↑w) ∈ F ⋀ A ∈ F) → ((A↑w) · A) ∈ F)
25	24	ancoms 439	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ F ⋀ (A↑w) ∈ F) → ((A↑w) · A) ∈ F)
26	25	adantlr 395	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ F ⋀ w ∈ ℕ) ⋀ (A↑w) ∈ F) → ((A↑w) · A) ∈ F)
27		expp1t 6587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ w ∈ ℕ0) → (A↑(w + 1)) = ((A↑w) · A))
28		nnnn0t 6112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (w ∈ ℕ → w ∈ ℕ0)
29	27, 14, 28	syl2an 457	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ F ⋀ w ∈ ℕ) → (A↑(w + 1)) = ((A↑w) · A))
30	29	eleq1d 1547	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ F ⋀ w ∈ ℕ) → ((A↑(w + 1)) ∈ F ↔ ((A↑w) · A) ∈ F))
31	30	adantr 391	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ F ⋀ w ∈ ℕ) ⋀ (A↑w) ∈ F) → ((A↑(w + 1)) ∈ F ↔ ((A↑w) · A) ∈ F))
32	26, 31	mpbird 196	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ F ⋀ w ∈ ℕ) ⋀ (A↑w) ∈ F) → (A↑(w + 1)) ∈ F)
33	32	exp31 378	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ F → (w ∈ ℕ → ((A↑w) ∈ F → (A↑(w + 1)) ∈ F)))
34	33	com12 11	. . . . . 6 ⊢ (w ∈ ℕ → (A ∈ F → ((A↑w) ∈ F → (A↑(w + 1)) ∈ F)))
35	34	a2d 13	. . . . 5 ⊢ (w ∈ ℕ → ((A ∈ F → (A↑w) ∈ F) → (A ∈ F → (A↑(w + 1)) ∈ F)))
36	3, 6, 9, 12, 18, 35	nnind 5943	. . . 4 ⊢ (B ∈ ℕ → (A ∈ F → (A↑B) ∈ F))
37	36	impcom 351	. . 3 ⊢ ((A ∈ F ⋀ B ∈ ℕ) → (A↑B) ∈ F)
38		opreq2 3983	. . . . 5 ⊢ (B = 0 → (A↑B) = (A↑0))
39		exp0t 6584	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℂ → (A↑0) = 1)
40	14, 39	syl 10	. . . . 5 ⊢ (A ∈ F → (A↑0) = 1)
41	38, 40	sylan9eqr 1536	. . . 4 ⊢ ((A ∈ F ⋀ B = 0) → (A↑B) = 1)
42		expcllem.3	. . . 4 ⊢ 1 ∈ F
43	41, 42	syl6eqel 1563	. . 3 ⊢ ((A ∈ F ⋀ B = 0) → (A↑B) ∈ F)
44	37, 43	jaodan 428	. 2 ⊢ ((A ∈ F ⋀ (B ∈ ℕ ⋁ B = 0)) → (A↑B) ∈ F)
45		elnn0 6107	. 2 ⊢ (B ∈ ℕ0 ↔ (B ∈ ℕ ⋁ B = 0))
46	44, 45	sylan2b 455	1 ⊢ ((A ∈ F ⋀ B ∈ ℕ0) → (A↑B) ∈ F)

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋁ wo 222   ⋀ wa 223   = wceq 960   ∈ wcel 962   ⊆ wss 2056  (class class class)co 3977  ℂcc 5245  0cc0 5247  1c1 5248   + caddc 5250   · cmul 5252  ℕcn 5309  ℕ₀cn0 5310  ↑cexp 6581

This theorem is referenced by:  nnexpclt 6589  nn0expclt 6590  zexpclt 6591  qexpclt 6592  reexpclt 6593  expclt 6594  rpexpclt 6595

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1129  ax-10o 1146  ax-16 1216  ax-11o 1224  ax-ext 1466  ax-rep 2706  ax-sep 2716  ax-nul 2723  ax-pow 2756  ax-pr 2793  ax-un 2880  ax-inf2 4637

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 780  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1178  df-eu 1388  df-mo 1389  df-clab 1471  df-cleq 1476  df-clel 1479  df-ne 1594  df-nel 1595  df-ral 1656  df-rex 1657  df-reu 1658  df-rab 1659  df-v 1819  df-sbc 1949  df-csb 2010  df-dif 2058  df-un 2059  df-in 2060  df-ss 2062  df-pss 2064  df-nul 2290  df-if 2372  df-pw 2412  df-sn 2422  df-pr 2423  df-tp 2425  df-op 2426  df-uni 2516  df-int 2546  df-iun 2580  df-br 2633  df-opab 2680  df-tr 2694  df-eprel 2846  df-id 2849  df-po 2854  df-so 2864  df-fr 2931  df-we 2948  df-ord 2965  df-on 2966  df-lim 2967  df-suc 2968  df-om 3146  df-xp 3198  df-rel 3199  df-cnv 3200  df-co 3201  df-dm 3202  df-rn 3203  df-res 3204  df-ima 3205  df-fun 3206  df-fn 3207  df-f 3208  df-f1 3209  df-fo 3210  df-f1o 3211  df-fv 3212  df-rdg 3946  df-opr 3979  df-oprab 3980  df-1st 4093  df-2nd 4094  df-1o 4147  df-oadd 4149  df-omul 4150  df-er 4275  df-ec 4277  df-qs 4280  df-en 4382  df-dom 4383  df-sdom 4384  df-ni 5013  df-pli 5014  df-mi 5015  df-lti 5016  df-plpq 5048  df-mpq 5049  df-enq 5050  df-nq 5051  df-plq 5052  df-mq 5053  df-rq 5054  df-ltq 5055  df-1q 5056  df-np 5099  df-1p 5100  df-plp 5101  df-mp 5102  df-ltp 5103  df-plpr 5177  df-mpr 5178  df-enr 5179  df-nr 5180  df-plr 5181  df-mr 5182  df-ltr 5183  df-0r 5184  df-1r 5185  df-m1r 5186  df-c 5253  df-0 5254  df-1 5255  df-i 5256  df-r 5257  df-plus 5258  df-mul 5259  df-lt 5260  df-sub 5369  df-neg 5371  df-pnf 5500  df-mnf 5501  df-xr 5502  df-ltxr 5503  df-le 5504  df-n 5931  df-n0 6106  df-z 6142  df-seq1 6491  df-exp 6582

Copyright terms: Public domain