Theorem enen1 4492

Description: Equality-like theorem for equinumerosity.

Assertion

Ref	Expression
enen1	⊢ ((B ∈ D ⋀ A ≈ B) → (A ≈ C ↔ B ≈ C))

Proof of Theorem enen1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ensymg 4425	. . . 4 ⊢ (B ∈ D → (A ≈ B → B ≈ A))
2	1	imp 350	. . 3 ⊢ ((B ∈ D ⋀ A ≈ B) → B ≈ A)
3		entrt 4428	. . . 4 ⊢ ((B ≈ A ⋀ A ≈ C) → B ≈ C)
4	3	ex 373	. . 3 ⊢ (B ≈ A → (A ≈ C → B ≈ C))
5	2, 4	syl 10	. 2 ⊢ ((B ∈ D ⋀ A ≈ B) → (A ≈ C → B ≈ C))
6		entrt 4428	. . . 4 ⊢ ((A ≈ B ⋀ B ≈ C) → A ≈ C)
7	6	adantll 394	. . 3 ⊢ (((B ∈ D ⋀ A ≈ B) ⋀ B ≈ C) → A ≈ C)
8	7	ex 373	. 2 ⊢ ((B ∈ D ⋀ A ≈ B) → (B ≈ C → A ≈ C))
9	5, 8	impbid 519	1 ⊢ ((B ∈ D ⋀ A ≈ B) → (A ≈ C ↔ B ≈ C))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   ∈ wcel 962   class class class wbr 2632   ≈ cen 4378

This theorem is referenced by:  xpen 4503  pwen 4518  onomeneq 4533  enfi 4548  cdaen 4937  infxpidmlem10 7576  alephexp2 7601

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1129  ax-10o 1146  ax-16 1216  ax-11o 1224  ax-ext 1466  ax-rep 2706  ax-sep 2716  ax-pow 2756  ax-pr 2793  ax-un 2880

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1178  df-eu 1388  df-mo 1389  df-clab 1471  df-cleq 1476  df-clel 1479  df-ne 1594  df-rex 1657  df-v 1819  df-dif 2058  df-un 2059  df-in 2060  df-ss 2062  df-nul 2290  df-pw 2412  df-sn 2422  df-pr 2423  df-op 2426  df-uni 2516  df-br 2633  df-opab 2680  df-id 2849  df-xp 3198  df-rel 3199  df-cnv 3200  df-co 3201  df-dm 3202  df-rn 3203  df-res 3204  df-ima 3205  df-fun 3206  df-fn 3207  df-f 3208  df-f1 3209  df-fo 3210  df-f1o 3211  df-er 4275  df-en 4382

Copyright terms: Public domain