Theorem divrec 5708

Description: Relationship between division and reciprocal. Theorem I.9 of [Apostol] p. 18.

Hypotheses

Ref	Expression
divrec.1	⊢ A ∈ ℂ
divrec.2	⊢ B ∈ ℂ
divrec.3	⊢ B ≠ 0

Assertion

Ref	Expression
divrec	⊢ (A / B) = (A · (1 / B))

Proof of Theorem divrec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divrec.2	. . . 4 ⊢ B ∈ ℂ
2		divrec.1	. . . . 5 ⊢ A ∈ ℂ
3		divrec.3	. . . . . 6 ⊢ B ≠ 0
4	1, 3	reccl 5690	. . . . 5 ⊢ (1 / B) ∈ ℂ
5	2, 4	mulcl 5301	. . . 4 ⊢ (A · (1 / B)) ∈ ℂ
6	1, 5	mulcom 5303	. . 3 ⊢ (B · (A · (1 / B))) = ((A · (1 / B)) · B)
7	2, 4, 1	mulass 5305	. . 3 ⊢ ((A · (1 / B)) · B) = (A · ((1 / B) · B))
8		ax1cn 5249	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
9	1, 8, 3	divcan1 5694	. . . . 5 ⊢ ((1 / B) · B) = 1
10	9	opreq2i 3963	. . . 4 ⊢ (A · ((1 / B) · B)) = (A · 1)
11	2	mulid1 5312	. . . 4 ⊢ (A · 1) = A
12	10, 11	eqtr 1492	. . 3 ⊢ (A · ((1 / B) · B)) = A
13	6, 7, 12	3eqtr 1496	. 2 ⊢ (B · (A · (1 / B))) = A
14	2, 1, 5, 3	divmul 5682	. 2 ⊢ ((A / B) = (A · (1 / B)) ↔ (B · (A · (1 / B))) = A)
15	13, 14	mpbir 190	1 ⊢ (A / B) = (A · (1 / B))

Syntax hints:   = wceq 954   ∈ wcel 956   ≠ wne 1582  (class class class)co 3954  ℂcc 5212  0cc0 5214  1c1 5215   · cmul 5219   / cdiv 5274

This theorem is referenced by:  divrecz 5709  divdir 5718  divid 5734  divdiv23 5757  redivcl 5762  ltdiv1i 5787  ltreci 5834  0.999... 7189  cos1bnd 7424

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680

Copyright terms: Public domain