Theorem clsss3 7700

Description: The closure of a subset of a topological space is included in the space.

Hypothesis

Ref	Expression
clscld.1	⊢ X = ∪J

Assertion

Ref	Expression
clsss3	⊢ ((J ∈ Top ⋀ S ⊆ X) → ((cls ‘J) ‘S) ⊆ X)

Proof of Theorem clsss3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clscld.1	. . 3 ⊢ X = ∪J
2	1	clscld 7692	. 2 ⊢ ((J ∈ Top ⋀ S ⊆ X) → ((cls ‘J) ‘S) ∈ (Clsd ‘J))
3	1	cldss 7680	. 2 ⊢ ((J ∈ Top ⋀ ((cls ‘J) ‘S) ∈ (Clsd ‘J)) → ((cls ‘J) ‘S) ⊆ X)
4	2, 3	syldan 470	1 ⊢ ((J ∈ Top ⋀ S ⊆ X) → ((cls ‘J) ‘S) ⊆ X)

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 960   ∈ wcel 962   ⊆ wss 2056  ∪cuni 2515   ‘cfv 3196  Topctop 7603  Clsdccld 7669  clsccl 7671

This theorem is referenced by:  cmntrcld 7703  clsidm 7707  elcls2 7714  clsndisj 7715  ntrcls0 7716  neindisj 7740  lpss 7755  clslp 7757  qdensere 7760  bcthlem7 8014  bcthlem10 8017

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1129  ax-10o 1146  ax-16 1216  ax-11o 1224  ax-ext 1466  ax-rep 2706  ax-sep 2716  ax-pow 2756  ax-pr 2793  ax-un 2880

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1178  df-eu 1388  df-mo 1389  df-clab 1471  df-cleq 1476  df-clel 1479  df-ne 1594  df-ral 1656  df-rex 1657  df-rab 1659  df-v 1819  df-sbc 1949  df-csb 2010  df-dif 2058  df-un 2059  df-in 2060  df-ss 2062  df-nul 2290  df-pw 2412  df-sn 2422  df-pr 2423  df-op 2426  df-uni 2516  df-int 2546  df-iun 2580  df-iin 2581  df-br 2633  df-opab 2680  df-id 2849  df-xp 3198  df-rel 3199  df-cnv 3200  df-co 3201  df-dm 3202  df-rn 3203  df-res 3204  df-ima 3205  df-fun 3206  df-fn 3207  df-fv 3212  df-top 7607  df-cld 7672  df-cls 7674

Copyright terms: Public domain