Theorem cjvalt 6695

Description: Value of the conjugate of a complex number. The value is the real part minus i times the imaginary part. Definition 10-3.2 of [Gleason] p. 132.

Assertion

Ref	Expression
cjvalt	⊢ (A ∈ ℂ → (∗ ‘A) = ((ℜ ‘A) − (i · (ℑ ‘A))))

Proof of Theorem cjvalt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fveq2 3709	. . 3 ⊢ (x = A → (ℜ ‘x) = (ℜ ‘A))
2		fveq2 3709	. . . 4 ⊢ (x = A → (ℑ ‘x) = (ℑ ‘A))
3	2	opreq2d 3961	. . 3 ⊢ (x = A → (i · (ℑ ‘x)) = (i · (ℑ ‘A)))
4	1, 3	opreq12d 3963	. 2 ⊢ (x = A → ((ℜ ‘x) − (i · (ℑ ‘x))) = ((ℜ ‘A) − (i · (ℑ ‘A))))
5		df-cj 6684	. 2 ⊢ ∗ = {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℂ ⋀ y = ((ℜ ‘x) − (i · (ℑ ‘x))))}
6		oprex 3968	. 2 ⊢ ((ℜ ‘A) − (i · (ℑ ‘A))) ∈ V
7	4, 5, 6	fvopab4 3765	1 ⊢ (A ∈ ℂ → (∗ ‘A) = ((ℜ ‘A) − (i · (ℑ ‘A))))

Syntax hints:   → wi 3   = wceq 953   ∈ wcel 955   ‘cfv 3172  (class class class)co 3948  ℂcc 5204  ici 5208   · cmul 5211   − cmin 5264  ℜcre 6678  ℑcim 6679  ∗ccj 6680

This theorem is referenced by:  cjclt 6696  cjcj 6713  cjreb 6716  recj 6717  imcj 6718  cjadd 6723  cjmul 6724  cjneg 6732  addcj 6733  recjt 6753  imcjt 6754  cji 6762  cj11t 6765  cjcncf 7213

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-sep 2693  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-rex 1642  df-v 1803  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-nul 2271  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-op 2406  df-uni 2494  df-br 2610  df-opab 2657  df-id 2824  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fv 3188  df-opr 3950  df-cj 6684

Copyright terms: Public domain