Theorem brafnmult 9882

Description: Anti-linearity property of bra functional for multiplication.

Assertion

Ref	Expression
brafnmult	⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℋ ) → (bra ‘(A ·h B)) = ((∗ ‘A) ·fn (bra ‘B)))

Proof of Theorem brafnmult

Step	Hyp	Ref	Expression
1		his5t 8960	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ x ∈ ℋ ⋀ B ∈ ℋ ) → (x ·ih (A ·h B)) = ((∗ ‘A) · (x ·ih B)))
2	1	3com23 843	. . . . . . 7 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℋ ⋀ x ∈ ℋ ) → (x ·ih (A ·h B)) = ((∗ ‘A) · (x ·ih B)))
3	2	3expa 837	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℋ ) ⋀ x ∈ ℋ ) → (x ·ih (A ·h B)) = ((∗ ‘A) · (x ·ih B)))
4		bravalvalt 9875	. . . . . . . 8 ⊢ ((B ∈ ℋ ⋀ x ∈ ℋ ) → ((bra ‘B) ‘x) = (x ·ih B))
5	4	adantll 394	. . . . . . 7 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℋ ) ⋀ x ∈ ℋ ) → ((bra ‘B) ‘x) = (x ·ih B))
6	5	opreq2d 3990	. . . . . 6 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℋ ) ⋀ x ∈ ℋ ) → ((∗ ‘A) · ((bra ‘B) ‘x)) = ((∗ ‘A) · (x ·ih B)))
7	3, 6	eqtr4d 1517	. . . . 5 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℋ ) ⋀ x ∈ ℋ ) → (x ·ih (A ·h B)) = ((∗ ‘A) · ((bra ‘B) ‘x)))
8	7	eqeq2d 1493	. . . 4 ⊢ (((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℋ ) ⋀ x ∈ ℋ ) → (y = (x ·ih (A ·h B)) ↔ y = ((∗ ‘A) · ((bra ‘B) ‘x))))
9	8	pm5.32da 652	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℋ ) → ((x ∈ ℋ ⋀ y = (x ·ih (A ·h B))) ↔ (x ∈ ℋ ⋀ y = ((∗ ‘A) · ((bra ‘B) ‘x)))))
10	9	opabbidv 2683	. 2 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℋ ) → {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℋ ⋀ y = (x ·ih (A ·h B)))} = {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℋ ⋀ y = ((∗ ‘A) · ((bra ‘B) ‘x)))})
11		hvmulclt 8890	. . 3 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℋ ) → (A ·h B) ∈ ℋ )
12		bravalt 9874	. . 3 ⊢ ((A ·h B) ∈ ℋ → (bra ‘(A ·h B)) = {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℋ ⋀ y = (x ·ih (A ·h B)))})
13	11, 12	syl 10	. 2 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℋ ) → (bra ‘(A ·h B)) = {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℋ ⋀ y = (x ·ih (A ·h B)))})
14		hfmmvalt 9522	. . 3 ⊢ (((∗ ‘A) ∈ ℂ ⋀ (bra ‘B): ℋ –→ℂ) → ((∗ ‘A) ·fn (bra ‘B)) = {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℋ ⋀ y = ((∗ ‘A) · ((bra ‘B) ‘x)))})
15		cjclt 6778	. . 3 ⊢ (A ∈ ℂ → (∗ ‘A) ∈ ℂ)
16		brafnt 9878	. . 3 ⊢ (B ∈ ℋ → (bra ‘B): ℋ –→ℂ)
17	14, 15, 16	syl2an 457	. 2 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℋ ) → ((∗ ‘A) ·fn (bra ‘B)) = {⟨x, y⟩∣(x ∈ ℋ ⋀ y = ((∗ ‘A) · ((bra ‘B) ‘x)))})
18	10, 13, 17	3eqtr4d 1524	1 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℋ ) → (bra ‘(A ·h B)) = ((∗ ‘A) ·fn (bra ‘B)))

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 960   ∈ wcel 962  {copab 2679  –→wf 3192   ‘cfv 3196  (class class class)co 3977  ℂcc 5245   · cmul 5252  ∗ccj 6763   ℋ chil 8795   ·_h csm 8797   ·_ih csp 8800   ·_fn chft 8818  bracbr 8832

This theorem is referenced by:  cnvbramult 10055

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1129  ax-10o 1146  ax-16 1216  ax-11o 1224  ax-ext 1466  ax-rep 2706  ax-sep 2716  ax-nul 2723  ax-pow 2756  ax-pr 2793  ax-un 2880  ax-inf2 4637  ax-hilex 8876  ax-hfvmul 8882  ax-hfi 8953  ax-his1 8956  ax-his3 8958

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 780  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1178  df-eu 1388  df-mo 1389  df-clab 1471  df-cleq 1476  df-clel 1479  df-ne 1594  df-nel 1595  df-ral 1656  df-rex 1657  df-reu 1658  df-rab 1659  df-v 1819  df-sbc 1949  df-csb 2010  df-dif 2058  df-un 2059  df-in 2060  df-ss 2062  df-pss 2064  df-nul 2290  df-if 2372  df-pw 2412  df-sn 2422  df-pr 2423  df-tp 2425  df-op 2426  df-uni 2516  df-int 2546  df-iun 2580  df-br 2633  df-opab 2680  df-tr 2694  df-eprel 2846  df-id 2849  df-po 2854  df-so 2864  df-fr 2931  df-we 2948  df-ord 2965  df-on 2966  df-lim 2967  df-suc 2968  df-om 3146  df-xp 3198  df-rel 3199  df-cnv 3200  df-co 3201  df-dm 3202  df-rn 3203  df-res 3204  df-ima 3205  df-fun 3206  df-fn 3207  df-f 3208  df-f1 3209  df-fo 3210  df-f1o 3211  df-fv 3212  df-rdg 3946  df-opr 3979  df-oprab 3980  df-1st 4093  df-2nd 4094  df-1o 4147  df-oadd 4149  df-omul 4150  df-er 4275  df-ec 4277  df-qs 4280  df-map 4338  df-en 4382  df-dom 4383  df-sdom 4384  df-ni 5013  df-pli 5014  df-mi 5015  df-lti 5016  df-plpq 5048  df-mpq 5049  df-enq 5050  df-nq 5051  df-plq 5052  df-mq 5053  df-rq 5054  df-ltq 5055  df-1q 5056  df-np 5099  df-1p 5100  df-plp 5101  df-mp 5102  df-ltp 5103  df-plpr 5177  df-mpr 5178  df-enr 5179  df-nr 5180  df-plr 5181  df-mr 5182  df-ltr 5183  df-0r 5184  df-1r 5185  df-m1r 5186  df-c 5253  df-0 5254  df-1 5255  df-i 5256  df-r 5257  df-plus 5258  df-mul 5259  df-lt 5260  df-sub 5369  df-neg 5371  df-pnf 5500  df-mnf 5501  df-xr 5502  df-ltxr 5503  df-le 5504  df-div 5716  df-re 6765  df-im 6766  df-cj 6767  df-hfmul 9517  df-bra 9783

Copyright terms: Public domain