Theorem bnnv 8534

Description: Every complex Banach space is a normed complex vector space.

Assertion

Ref	Expression
bnnv	⊢ (U ∈ CBan → U ∈ NrmCVec)

Proof of Theorem bnnv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1482	. . 3 ⊢ (IndMet ‘U) = (IndMet ‘U)
2	1	isbn 8532	. 2 ⊢ (U ∈ CBan ↔ (U ∈ NrmCVec ⋀ (IndMet ‘U) ∈ CMet))
3	2	pm3.26bi 322	1 ⊢ (U ∈ CBan → U ∈ NrmCVec)

Syntax hints:   → wi 3   ∈ wcel 962   ‘cfv 3196  CMetcms 7930  NrmCVeccnv 8211  IndMetcims 8218  CBancbn 8530

This theorem is referenced by:  bnrel 8535  ubthlem4 8540  ubthlem5 8541  ubthlem6 8542  ubthii 8551  ubthi 8552  minveclem29 8581  hlnv 8603

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1129  ax-10o 1146  ax-16 1216  ax-11o 1224  ax-ext 1466  ax-sep 2716  ax-pow 2756  ax-pr 2793

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 985  df-sb 1178  df-eu 1388  df-mo 1389  df-clab 1471  df-cleq 1476  df-clel 1479  df-ne 1594  df-rab 1659  df-v 1819  df-dif 2058  df-un 2059  df-in 2060  df-ss 2062  df-nul 2290  df-pw 2412  df-sn 2422  df-pr 2423  df-op 2426  df-uni 2516  df-br 2633  df-opab 2680  df-xp 3198  df-cnv 3200  df-dm 3202  df-rn 3203  df-res 3204  df-ima 3205  df-fv 3212  df-bn 8531

Copyright terms: Public domain