Theorem blrn2 7851

Description: Membership in the range of the ball function. Note that ran ( ball ‘D) is the collection of all balls for metric D.

Hypothesis

Ref	Expression
blval.1	⊢ X = dom dom D

Assertion

Ref	Expression
blrn2	⊢ (D ∈ Met → (B ∈ ran ( ball ‘D) ↔ ∃x ∈ X ∃y ∈ ℝ (0 < y ⋀ B = {z ∈ X∣(xDz) < y})))

Distinct variable groups:   x,y,B   x,z,D,y   x,X,y,z

Proof of Theorem blrn2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		blval.1	. . 3 ⊢ X = dom dom D
2	1	blrn 7850	. 2 ⊢ (D ∈ Met → (B ∈ ran ( ball ‘D) ↔ ∃x ∈ X ∃y ∈ {w ∈ ℝ∣0 < w}B = {z ∈ X∣(xDz) < y}))
3		breq2 2636	. . . . . . 7 ⊢ (w = y → (0 < w ↔ 0 < y))
4	3	elrab 1912	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ {w ∈ ℝ∣0 < w} ↔ (y ∈ ℝ ⋀ 0 < y))
5	4	anbi1i 484	. . . . 5 ⊢ ((y ∈ {w ∈ ℝ∣0 < w} ⋀ B = {z ∈ X∣(xDz) < y}) ↔ ((y ∈ ℝ ⋀ 0 < y) ⋀ B = {z ∈ X∣(xDz) < y}))
6		anass 442	. . . . 5 ⊢ (((y ∈ ℝ ⋀ 0 < y) ⋀ B = {z ∈ X∣(xDz) < y}) ↔ (y ∈ ℝ ⋀ (0 < y ⋀ B = {z ∈ X∣(xDz) < y})))
7	5, 6	bitr 173	. . . 4 ⊢ ((y ∈ {w ∈ ℝ∣0 < w} ⋀ B = {z ∈ X∣(xDz) < y}) ↔ (y ∈ ℝ ⋀ (0 < y ⋀ B = {z ∈ X∣(xDz) < y})))
8	7	rexbii2 1679	. . 3 ⊢ (∃y ∈ {w ∈ ℝ∣0 < w}B = {z ∈ X∣(xDz) < y} ↔ ∃y ∈ ℝ (0 < y ⋀ B = {z ∈ X∣(xDz) < y}))
9	8	rexbii 1675	. 2 ⊢ (∃x ∈ X ∃y ∈ {w ∈ ℝ∣0 < w}B = {z ∈ X∣(xDz) < y} ↔ ∃x ∈ X ∃y ∈ ℝ (0 < y ⋀ B = {z ∈ X∣(xDz) < y}))
10	2, 9	syl6bb 539	1 ⊢ (D ∈ Met → (B ∈ ran ( ball ‘D) ↔ ∃x ∈ X ∃y ∈ ℝ (0 < y ⋀ B = {z ∈ X∣(xDz) < y})))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   = wceq 960   ∈ wcel 962  ∃wrex 1653  {crab 1655   class class class wbr 2632  dom cdm 3184  ran crn 3185   ‘cfv 3196  (class class class)co 3977  ℝcr 5246  0cc0 5247   < clt 5499  Metcme 7798   ball cbl 7800

This theorem is referenced by:  blrn3 7856  blss 7862

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1129  ax-10o 1146  ax-16 1216  ax-11o 1224  ax-ext 1466  ax-rep 2706  ax-sep 2716  ax-nul 2723  ax-pow 2756  ax-pr 2793  ax-un 2880  ax-inf2 4637

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 780  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1178  df-eu 1388  df-mo 1389  df-clab 1471  df-cleq 1476  df-clel 1479  df-ne 1594  df-ral 1656  df-rex 1657  df-reu 1658  df-rab 1659  df-v 1819  df-sbc 1949  df-csb 2010  df-dif 2058  df-un 2059  df-in 2060  df-ss 2062  df-pss 2064  df-nul 2290  df-if 2372  df-pw 2412  df-sn 2422  df-pr 2423  df-tp 2425  df-op 2426  df-uni 2516  df-int 2546  df-iun 2580  df-br 2633  df-opab 2680  df-tr 2694  df-eprel 2846  df-id 2849  df-po 2854  df-so 2864  df-fr 2931  df-we 2948  df-ord 2965  df-on 2966  df-lim 2967  df-suc 2968  df-om 3146  df-xp 3198  df-rel 3199  df-cnv 3200  df-co 3201  df-dm 3202  df-rn 3203  df-res 3204  df-ima 3205  df-fun 3206  df-fn 3207  df-f 3208  df-fv 3212  df-rdg 3946  df-opr 3979  df-oprab 3980  df-1st 4093  df-2nd 4094  df-1o 4147  df-oadd 4149  df-omul 4150  df-er 4275  df-ec 4277  df-qs 4280  df-ni 5013  df-pli 5014  df-mi 5015  df-lti 5016  df-plpq 5048  df-mpq 5049  df-enq 5050  df-nq 5051  df-plq 5052  df-mq 5053  df-rq 5054  df-ltq 5055  df-1q 5056  df-np 5099  df-1p 5100  df-enr 5179  df-nr 5180  df-0r 5184  df-c 5253  df-r 5257  df-bl 7804

Copyright terms: Public domain