Theorem axsup 5487

Description: A non-empty, bounded-above set of reals has a supremum. Axiom 27 of 27 for real and complex numbers, derived from ZF set theory. (This restates pre-axsup 5271 with ordering on the extended reals.)

Assertion

Ref	Expression
axsup	⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ A ≠ ∅ ⋀ ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A y < x) → ∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x < y ⋀ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ A y < z)))

Distinct variable group:   x,y,z,A

Proof of Theorem axsup

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pre-axsup 5271	. . . 4 ⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ A ≠ ∅ ⋀ ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A y <ℝ x) → ∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x <ℝ y ⋀ ∀y ∈ ℝ (y <ℝ x → ∃z ∈ A y <ℝ z)))
2	1	3expia 834	. . 3 ⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ A ≠ ∅) → (∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A y <ℝ x → ∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x <ℝ y ⋀ ∀y ∈ ℝ (y <ℝ x → ∃z ∈ A y <ℝ z))))
3		ltxrltt 5480	. . . . . . . 8 ⊢ ((y ∈ ℝ ⋀ x ∈ ℝ) → (y < x ↔ y <ℝ x))
4		ssel2 2060	. . . . . . . 8 ⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ y ∈ A) → y ∈ ℝ)
5	3, 4	sylan 448	. . . . . . 7 ⊢ (((A ⊆ ℝ ⋀ y ∈ A) ⋀ x ∈ ℝ) → (y < x ↔ y <ℝ x))
6	5	an1rs 489	. . . . . 6 ⊢ (((A ⊆ ℝ ⋀ x ∈ ℝ) ⋀ y ∈ A) → (y < x ↔ y <ℝ x))
7	6	ralbidva 1656	. . . . 5 ⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ x ∈ ℝ) → (∀y ∈ A y < x ↔ ∀y ∈ A y <ℝ x))
8	7	rexbidva 1657	. . . 4 ⊢ (A ⊆ ℝ → (∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A y < x ↔ ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A y <ℝ x))
9	8	adantr 389	. . 3 ⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ A ≠ ∅) → (∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A y < x ↔ ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A y <ℝ x))
10		ltxrltt 5480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((x ∈ ℝ ⋀ y ∈ ℝ) → (x < y ↔ x <ℝ y))
11	10	ancoms 436	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((y ∈ ℝ ⋀ x ∈ ℝ) → (x < y ↔ x <ℝ y))
12	11, 4	sylan 448	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ⊆ ℝ ⋀ y ∈ A) ⋀ x ∈ ℝ) → (x < y ↔ x <ℝ y))
13	12	an1rs 489	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ⊆ ℝ ⋀ x ∈ ℝ) ⋀ y ∈ A) → (x < y ↔ x <ℝ y))
14	13	negbid 610	. . . . . . 7 ⊢ (((A ⊆ ℝ ⋀ x ∈ ℝ) ⋀ y ∈ A) → (¬ x < y ↔ ¬ x <ℝ y))
15	14	ralbidva 1656	. . . . . 6 ⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ x ∈ ℝ) → (∀y ∈ A ¬ x < y ↔ ∀y ∈ A ¬ x <ℝ y))
16	3	ancoms 436	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ∈ ℝ ⋀ y ∈ ℝ) → (y < x ↔ y <ℝ x))
17	16	adantll 392	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ⊆ ℝ ⋀ x ∈ ℝ) ⋀ y ∈ ℝ) → (y < x ↔ y <ℝ x))
18		ltxrltt 5480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((y ∈ ℝ ⋀ z ∈ ℝ) → (y < z ↔ y <ℝ z))
19	18	ancoms 436	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((z ∈ ℝ ⋀ y ∈ ℝ) → (y < z ↔ y <ℝ z))
20		ssel2 2060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ z ∈ A) → z ∈ ℝ)
21	19, 20	sylan 448	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((A ⊆ ℝ ⋀ z ∈ A) ⋀ y ∈ ℝ) → (y < z ↔ y <ℝ z))
22	21	an1rs 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((A ⊆ ℝ ⋀ y ∈ ℝ) ⋀ z ∈ A) → (y < z ↔ y <ℝ z))
23	22	rexbidva 1657	. . . . . . . . 9 ⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ y ∈ ℝ) → (∃z ∈ A y < z ↔ ∃z ∈ A y <ℝ z))
24	23	adantlr 393	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ⊆ ℝ ⋀ x ∈ ℝ) ⋀ y ∈ ℝ) → (∃z ∈ A y < z ↔ ∃z ∈ A y <ℝ z))
25	17, 24	imbi12d 625	. . . . . . 7 ⊢ (((A ⊆ ℝ ⋀ x ∈ ℝ) ⋀ y ∈ ℝ) → ((y < x → ∃z ∈ A y < z) ↔ (y <ℝ x → ∃z ∈ A y <ℝ z)))
26	25	ralbidva 1656	. . . . . 6 ⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ x ∈ ℝ) → (∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ A y < z) ↔ ∀y ∈ ℝ (y <ℝ x → ∃z ∈ A y <ℝ z)))
27	15, 26	anbi12d 627	. . . . 5 ⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ x ∈ ℝ) → ((∀y ∈ A ¬ x < y ⋀ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ A y < z)) ↔ (∀y ∈ A ¬ x <ℝ y ⋀ ∀y ∈ ℝ (y <ℝ x → ∃z ∈ A y <ℝ z))))
28	27	rexbidva 1657	. . . 4 ⊢ (A ⊆ ℝ → (∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x < y ⋀ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ A y < z)) ↔ ∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x <ℝ y ⋀ ∀y ∈ ℝ (y <ℝ x → ∃z ∈ A y <ℝ z))))
29	28	adantr 389	. . 3 ⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ A ≠ ∅) → (∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x < y ⋀ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ A y < z)) ↔ ∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x <ℝ y ⋀ ∀y ∈ ℝ (y <ℝ x → ∃z ∈ A y <ℝ z))))
30	2, 9, 29	3imtr4d 542	. 2 ⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ A ≠ ∅) → (∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A y < x → ∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x < y ⋀ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ A y < z))))
31	30	3impia 829	1 ⊢ ((A ⊆ ℝ ⋀ A ≠ ∅ ⋀ ∃x ∈ ℝ ∀y ∈ A y < x) → ∃x ∈ ℝ (∀y ∈ A ¬ x < y ⋀ ∀y ∈ ℝ (y < x → ∃z ∈ A y < z)))

Syntax hints:  ¬ wn 2   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 774   ∈ wcel 956   ≠ wne 1582  ∀wral 1642  ∃wrex 1643   ⊆ wss 2043  ∅c0 2276   class class class wbr 2614  ℝcr 5213   <_ℝ cltrr 5218   < clt 5466

This theorem is referenced by:  sup2 6006  sqrlem7 6617  sqrlem8 6618  sqrlem13 6623  sqrlem18 6628

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-r 5224  df-lt 5227  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470

Copyright terms: Public domain