Theorem axmulcom 5256

Description: Multiplication of complex numbers is commutative. Axiom 10 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axmulcom	⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → (A · B) = (B · A))

Proof of Theorem axmulcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcnqs 5242	. 2 ⊢ ℂ = ((R × R) / ◡E)
2		mulcnsrec 5244	. 2 ⊢ (((x ∈ R ⋀ y ∈ R) ⋀ (z ∈ R ⋀ w ∈ R)) → ([⟨x, y⟩]◡E · [⟨z, w⟩]◡E) = [⟨((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))), ((y ·R z) +R (x ·R w))⟩]◡E)
3		mulcnsrec 5244	. 2 ⊢ (((z ∈ R ⋀ w ∈ R) ⋀ (x ∈ R ⋀ y ∈ R)) → ([⟨z, w⟩]◡E · [⟨x, y⟩]◡E) = [⟨((z ·R x) +R (-1R ·R (w ·R y))), ((w ·R x) +R (z ·R y))⟩]◡E)
4		visset 1809	. . . 4 ⊢ x ∈ V
5		visset 1809	. . . 4 ⊢ z ∈ V
6	4, 5	mulcomsr 5178	. . 3 ⊢ (x ·R z) = (z ·R x)
7		visset 1809	. . . . 5 ⊢ y ∈ V
8		visset 1809	. . . . 5 ⊢ w ∈ V
9	7, 8	mulcomsr 5178	. . . 4 ⊢ (y ·R w) = (w ·R y)
10	9	opreq2i 3963	. . 3 ⊢ (-1R ·R (y ·R w)) = (-1R ·R (w ·R y))
11	6, 10	opreq12i 3964	. 2 ⊢ ((x ·R z) +R (-1R ·R (y ·R w))) = ((z ·R x) +R (-1R ·R (w ·R y)))
12	7, 5	mulcomsr 5178	. . . 4 ⊢ (y ·R z) = (z ·R y)
13	4, 8	mulcomsr 5178	. . . 4 ⊢ (x ·R w) = (w ·R x)
14	12, 13	opreq12i 3964	. . 3 ⊢ ((y ·R z) +R (x ·R w)) = ((z ·R y) +R (w ·R x))
15		oprex 3974	. . . 4 ⊢ (z ·R y) ∈ V
16		oprex 3974	. . . 4 ⊢ (w ·R x) ∈ V
17	15, 16	addcomsr 5176	. . 3 ⊢ ((z ·R y) +R (w ·R x)) = ((w ·R x) +R (z ·R y))
18	14, 17	eqtr 1492	. 2 ⊢ ((y ·R z) +R (x ·R w)) = ((w ·R x) +R (z ·R y))
19	1, 2, 3, 11, 18	ecoprcom 4309	1 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → (A · B) = (B · A))

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 954   ∈ wcel 956  Ecep 2825  ^◡ccnv 3164  (class class class)co 3954  Rcnr 4973  -1_Rcm1r 4976   +_R cplr 4977   ·_R cmr 4978  ℂcc 5212   · cmul 5219

This theorem is referenced by:  mulcomt 5286  adddirt 5299  mulcom 5303  mulid2t 5397  mul12t 5398  mul23t 5399  muladdt 5401  subdirt 5408  mul02t 5424  mulneg2t 5432  recextlem1 5663  mulcan 5667  mulcan2t 5670  divmul3t 5686  recid2t 5707  divrec2t 5711  div23t 5713  div13t 5714  div12t 5715  divcan4t 5727  rec11rt 5743  divmul13t 5746  divmul24t 5747  divdivdivt 5749  prodgt02t 5791  prodge02t 5793  ltmul2t 5795  lemul2t 5797  lemul2it 5803  lemul2itOLD 5804  ltmulgt12t 5811  ltmuldiv2t 5826  ltdivmul2t 5829  lt2mul2divt 5830  ledivmul2t 5831  lemuldiv2t 5833  times2t 5960  subsqt 6581  crutOLD 6677  replimtOLD 6701  imret 6718  imcjt 6762  abscjt 6777  sqabsaddt 6791  sqabssubt 6792  bccmplt 6908  fsummulc2 6980  caucvg3a 7108  caucvg3lem 7110  geolimilem 7178  cvgratlem1ALT 7190  cvgratlem1 7193  fsum0diag4 7204  efcltlem1 7254  efexpt 7322  efeult 7399  sin2tt 7412  demoivre 7434  ablmul 8083  nvscom 8202  nv1 8256  ipblnfi 8460  sinmpi 8632  cosmpi 8633  circgrpOLD 8677  efper 8686  hvmulcomt 8851  norm1t 9060  pjthlem7 9163  h1de2b 9415  h1de2bOLD 9416  homul12t 9671  kbmult 9818  riesz3 9933  riesz1t 9936  branmfnt 9976  kbass2t 9988  kbass4t 9990  strlem1 10115  msra3 10511

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-c 5220  df-mul 5226

Copyright terms: Public domain