Theorem axmulcl 5245

Description: Closure law for multiplication of complex numbers. Axiom 7 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axmulcl	⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → (A · B) ∈ ℂ)

Proof of Theorem axmulcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axmulopr 5238	. 2 ⊢ · :(ℂ × ℂ)–→ℂ
2	1	foprcl 4000	1 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → (A · B) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   ∈ wcel 955  (class class class)co 3948  ℂcc 5204   · cmul 5211

This theorem is referenced by:  mulclt 5275  mulcl 5293  cnegextlem2 5318  cnegext 5320  mul4t 5392  muladdt 5393  subdit 5399  submul2t 5432  mulsubt 5449  recextlem1 5655  recext 5657  muleqaddt 5669  receu 5670  mulnzcnopr 5671  divasst 5704  divmuldivt 5736  divadddivt 5740  divdivdivt 5741  conjmult 5753  zneo 6147  zneoOLD 6148  qbtwnre 6216  expclt 6513  mulexpt 6525  sqclt 6542  subsqt 6573  subsq2t 6574  bernneq 6583  bernneq2 6584  cjclt 6696  crret 6702  crretOLD 6703  crimt 6704  crimtOLD 6705  imret 6710  reim0t 6711  recjt 6753  imcjt 6754  cjreimt 6763  cjreim2t 6764  cj11t 6765  sqabsaddt 6783  sqabssubt 6784  absreimsqt 6791  absreimt 6792  fsummulc1 6971  binomlem1 7004  binomlem2 7005  binomlem4 7007  binomlem5 7008  climmullem4 7059  climmullem5 7060  climmullem8 7063  climsub 7066  caucvg3a 7100  caucvg3lem 7102  fnsmnt 7161  geoser 7169  geolimilem 7170  fsum0diaglem2 7192  fsum0diag2 7194  mulc1cncf 7214  efaddlem3 7282  efaddlem5 7284  efaddlem6 7285  efaddlem13 7292  efaddlem17 7296  efaddlem19 7298  efaddlem27 7306  efexpt 7314  abspef01tlub 7336  sinclt 7373  cosclt 7374  resinvalt 7375  recosvalt 7376  efi4pt 7377  resin4pt 7378  recos4pt 7379  resinclt 7380  recosclt 7381  sinnegt 7384  cosnegt 7385  efivalt 7389  efmivalt 7390  efeult 7391  sinsubt 7397  cossubt 7398  addsint 7399  subsint 7400  addcost 7401  subcost 7402  sincossqt 7403  sin2tt 7404  sin01bndlem2 7410  sin01bndlem3 7411  cos01bndlem2 7412  cos01bndlem3 7413  abseft 7425  demoivre 7426  demoivreALT 7427  znnen 7445  mulcn 7922  ablmul 8068  ipval2 8291  4ipval2 8292  4ipval3 8296  ipid 8297  ipcl 8299  ipcj 8301  ip1cnilem4 8310  ip1cnilem6 8312  cnph 8409  ipasslem2 8422  ipasslem4 8424  ipasslem8 8428  ipasslem9 8429  ipasslem11 8431  ubthlem7 8466  ubthlem8 8467  ubthlem9 8468  ubthlem10 8469  minveclem18 8493  sincolem 8584  sinperlem2 8606  sinper 8609  cosper 8610  efimpi 8615  sincosq1eq 8626  efgh 8633  efghgrpilem 8634  efif 8636  efif1lem4 8648  efielcircOLD 8655  circcltOLD 8656  efielcirc 8659  shftefif1olem 8661  shftefif1olemOLD 8662  eff1lem 8664  eff1i 8665  effoi 8666  effoiOLD 8667  efper 8669  hhssnv 9054  pjthlem4 9137  pjthlem7 9140  spansncol 9407  homulasst 9645  lnfnmul 9888  riesz3 9910  mslb1 10473  2wsms 10474

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-m1r 5145  df-c 5212  df-mul 5218

Copyright terms: Public domain