Theorem axicn 5250

Description: i is a complex number. Axiom 4 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axicn	⊢ i ∈ ℂ

Proof of Theorem axicn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-i 5223	. . . 4 ⊢ i = ⟨0R, 1R⟩
2	1	eleq1i 1534	. . 3 ⊢ (i ∈ ℂ ↔ ⟨0R, 1R⟩ ∈ ℂ)
3		1r 5170	. . . . 5 ⊢ 1R ∈ R
4	3	elisseti 1814	. . . 4 ⊢ 1R ∈ V
5	4	opelcn 5228	. . 3 ⊢ (⟨0R, 1R⟩ ∈ ℂ ↔ (0R ∈ R ⋀ 1R ∈ R))
6	2, 5	bitr 173	. 2 ⊢ (i ∈ ℂ ↔ (0R ∈ R ⋀ 1R ∈ R))
7		0r 5169	. 2 ⊢ 0R ∈ R
8	6, 7, 3	mpbir2an 729	1 ⊢ i ∈ ℂ

Syntax hints:   ⋀ wa 223   ∈ wcel 956  ⟨cop 2407  Rcnr 4973  0_Rc0r 4974  1_Rc1r 4975  ℂcc 5212  ici 5216

This theorem is referenced by:  0cn 5308  cnegextlem2 5326  cnegext 5328  0cnALT 5330  ine0 5414  1re 5415  ixi 5662  recextlem1 5663  recextlem2 5664  recext 5665  irec 6669  i2 6670  i3 6671  i4 6672  crulem 6674  cru 6675  crutOLD 6677  crne0 6678  crmul 6679  crrecz 6680  rimul 6683  nthruc 6684  replimtOLD 6701  cjclt 6704  crret 6710  crretOLD 6711  crimt 6712  crimtOLD 6713  imret 6718  reim0t 6719  reim0bt 6720  cjcj 6721  rereb 6723  cjreb 6724  recj 6725  imcj 6726  readd 6727  imadd 6728  cjadd 6731  cjmul 6732  reneg 6737  imneg 6739  cjneg 6740  addcj 6741  recjt 6761  imcjt 6762  rei 6767  imi 6768  cji 6770  cjreimt 6771  cjreim2t 6772  cj11t 6773  abs00 6785  absreimsqt 6799  absreimt 6800  absi 6823  recant 6850  caucvg3a 7108  caucvg3lem 7110  abspef01tlub 7344  sinclt 7381  cosclt 7382  resinvalt 7383  recosvalt 7384  efi4pt 7385  resin4pt 7386  recos4pt 7387  resinclt 7388  recosclt 7389  sinnegt 7392  cosnegt 7393  sin0 7394  cos0 7396  efivalt 7397  efmivalt 7398  efeult 7399  sinadd 7401  cosadd 7402  sin01bndlem2 7418  sin01bndlem3 7419  cos01bndlem2 7420  cos01bndlem3 7421  abseft 7433  demoivre 7434  demoivreALT 7435  nvpi 8246  ipval2 8304  4ipval2 8305  ipval3 8306  4ipval3 8309  ipid 8310  ipcl 8312  ipcj 8314  ip0r 8317  ip1cnilem1 8320  ip1cnilem2 8321  ip1cnilem3 8322  ip1cnilem4 8323  ip1cnilem5 8324  ip1cnilem6 8325  sspival 8344  ip1ilem 8429  ipasslem10 8443  ipasslem11 8444  sincolem 8603  sincnlem 8604  sinco 8605  sincn 8607  eulerid 8621  sinperlem1 8624  efimpi 8634  efif 8655  efif1lem4 8667  efielcircOLD 8674  efielcirc 8678  circgrp 8679  shftefif1olem 8680  eff1lem 8682  eff1i 8683  effoi 8684  efper 8686  pilog 8707  polid2 8963  polid 8964  lnopeq0lem1 9868  lnopeq0 9870  lnophmlem2 9880

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-enr 5146  df-nr 5147  df-0r 5151  df-1r 5152  df-c 5220  df-i 5223

Copyright terms: Public domain