Theorem axgroth3 8786

Description: Alternate version of Grothendieck's Axiom. ax-ac 4756 is used to derive this version.

Assertion

Ref	Expression
axgroth3	⊢ ∃y(x ∈ y ⋀ ∀z ∈ y (∀w(w ⊆ z → w ∈ y) ⋀ ∃w ∈ y ∀v(v ⊆ z → v ∈ w)) ⋀ ∀z(z ⊆ y → ((y ∖ z) ≼ z ⋁ z ∈ y)))

Distinct variable group:   x,y,z,w,v

Proof of Theorem axgroth3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axgroth2 8785	. 2 ⊢ ∃y(x ∈ y ⋀ ∀z ∈ y (∀w(w ⊆ z → w ∈ y) ⋀ ∃w ∈ y ∀v(v ⊆ z → v ∈ w)) ⋀ ∀z(z ⊆ y → (y ≼ z ⋁ z ∈ y)))
2		visset 1820	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ y ∈ V
3	2	dominf 4917	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((y ≠ ∅ ⋀ y ⊆ ∪y) → ω ≼ y)
4		ne0i 2295	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x ∈ y → y ≠ ∅)
5	3, 4	sylan 451	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((x ∈ y ⋀ y ⊆ ∪y) → ω ≼ y)
6		visset 1820	. . . . . . . . . . 11 ⊢ z ∈ V
7	2, 6	infdif2 7584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ω ≼ y → ((y ∖ z) ≼ z ↔ y ≼ z))
8	5, 7	syl 10	. . . . . . . . 9 ⊢ ((x ∈ y ⋀ y ⊆ ∪y) → ((y ∖ z) ≼ z ↔ y ≼ z))
9	8	orbi1d 618	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ y ⋀ y ⊆ ∪y) → (((y ∖ z) ≼ z ⋁ z ∈ y) ↔ (y ≼ z ⋁ z ∈ y)))
10	9	imbi2d 615	. . . . . . 7 ⊢ ((x ∈ y ⋀ y ⊆ ∪y) → ((z ⊆ y → ((y ∖ z) ≼ z ⋁ z ∈ y)) ↔ (z ⊆ y → (y ≼ z ⋁ z ∈ y))))
11	10	albidv 1284	. . . . . 6 ⊢ ((x ∈ y ⋀ y ⊆ ∪y) → (∀z(z ⊆ y → ((y ∖ z) ≼ z ⋁ z ∈ y)) ↔ ∀z(z ⊆ y → (y ≼ z ⋁ z ∈ y))))
12		ssid 2089	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ z ⊆ z
13		sseq1 2091	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (v = z → (v ⊆ z ↔ z ⊆ z))
14		elequ1 1142	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (v = z → (v ∈ w ↔ z ∈ w))
15	13, 14	imbi12d 629	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (v = z → ((v ⊆ z → v ∈ w) ↔ (z ⊆ z → z ∈ w)))
16	15	a4v 1278	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀v(v ⊆ z → v ∈ w) → (z ⊆ z → z ∈ w))
17	12, 16	mpi 44	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∀v(v ⊆ z → v ∈ w) → z ∈ w)
18	17	r19.22si 1741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃w ∈ y ∀v(v ⊆ z → v ∈ w) → ∃w ∈ y z ∈ w)
19		eluni2 2519	. . . . . . . . . 10 ⊢ (z ∈ ∪y ↔ ∃w ∈ y z ∈ w)
20	18, 19	sylibr 200	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃w ∈ y ∀v(v ⊆ z → v ∈ w) → z ∈ ∪y)
21	20	adantl 390	. . . . . . . 8 ⊢ ((∀w(w ⊆ z → w ∈ y) ⋀ ∃w ∈ y ∀v(v ⊆ z → v ∈ w)) → z ∈ ∪y)
22	21	r19.20si 1713	. . . . . . 7 ⊢ (∀z ∈ y (∀w(w ⊆ z → w ∈ y) ⋀ ∃w ∈ y ∀v(v ⊆ z → v ∈ w)) → ∀z ∈ y z ∈ ∪y)
23		dfss3 2068	. . . . . . 7 ⊢ (y ⊆ ∪y ↔ ∀z ∈ y z ∈ ∪y)
24	22, 23	sylibr 200	. . . . . 6 ⊢ (∀z ∈ y (∀w(w ⊆ z → w ∈ y) ⋀ ∃w ∈ y ∀v(v ⊆ z → v ∈ w)) → y ⊆ ∪y)
25	11, 24	sylan2 454	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ y ⋀ ∀z ∈ y (∀w(w ⊆ z → w ∈ y) ⋀ ∃w ∈ y ∀v(v ⊆ z → v ∈ w))) → (∀z(z ⊆ y → ((y ∖ z) ≼ z ⋁ z ∈ y)) ↔ ∀z(z ⊆ y → (y ≼ z ⋁ z ∈ y))))
26	25	pm5.32i 648	. . . 4 ⊢ (((x ∈ y ⋀ ∀z ∈ y (∀w(w ⊆ z → w ∈ y) ⋀ ∃w ∈ y ∀v(v ⊆ z → v ∈ w))) ⋀ ∀z(z ⊆ y → ((y ∖ z) ≼ z ⋁ z ∈ y))) ↔ ((x ∈ y ⋀ ∀z ∈ y (∀w(w ⊆ z → w ∈ y) ⋀ ∃w ∈ y ∀v(v ⊆ z → v ∈ w))) ⋀ ∀z(z ⊆ y → (y ≼ z ⋁ z ∈ y))))
27		df-3an 781	. . . 4 ⊢ ((x ∈ y ⋀ ∀z ∈ y (∀w(w ⊆ z → w ∈ y) ⋀ ∃w ∈ y ∀v(v ⊆ z → v ∈ w)) ⋀ ∀z(z ⊆ y → ((y ∖ z) ≼ z ⋁ z ∈ y))) ↔ ((x ∈ y ⋀ ∀z ∈ y (∀w(w ⊆ z → w ∈ y) ⋀ ∃w ∈ y ∀v(v ⊆ z → v ∈ w))) ⋀ ∀z(z ⊆ y → ((y ∖ z) ≼ z ⋁ z ∈ y))))
28		df-3an 781	. . . 4 ⊢ ((x ∈ y ⋀ ∀z ∈ y (∀w(w ⊆ z → w ∈ y) ⋀ ∃w ∈ y ∀v(v ⊆ z → v ∈ w)) ⋀ ∀z(z ⊆ y → (y ≼ z ⋁ z ∈ y))) ↔ ((x ∈ y ⋀ ∀z ∈ y (∀w(w ⊆ z → w ∈ y) ⋀ ∃w ∈ y ∀v(v ⊆ z → v ∈ w))) ⋀ ∀z(z ⊆ y → (y ≼ z ⋁ z ∈ y))))
29	26, 27, 28	3bitr4 183	. . 3 ⊢ ((x ∈ y ⋀ ∀z ∈ y (∀w(w ⊆ z → w ∈ y) ⋀ ∃w ∈ y ∀v(v ⊆ z → v ∈ w)) ⋀ ∀z(z ⊆ y → ((y ∖ z) ≼ z ⋁ z ∈ y))) ↔ (x ∈ y ⋀ ∀z ∈ y (∀w(w ⊆ z → w ∈ y) ⋀ ∃w ∈ y ∀v(v ⊆ z → v ∈ w)) ⋀ ∀z(z ⊆ y → (y ≼ z ⋁ z ∈ y))))
30	29	exbii 1057	. 2 ⊢ (∃y(x ∈ y ⋀ ∀z ∈ y (∀w(w ⊆ z → w ∈ y) ⋀ ∃w ∈ y ∀v(v ⊆ z → v ∈ w)) ⋀ ∀z(z ⊆ y → ((y ∖ z) ≼ z ⋁ z ∈ y))) ↔ ∃y(x ∈ y ⋀ ∀z ∈ y (∀w(w ⊆ z → w ∈ y) ⋀ ∃w ∈ y ∀v(v ⊆ z → v ∈ w)) ⋀ ∀z(z ⊆ y → (y ≼ z ⋁ z ∈ y))))
31	1, 30	mpbir 190	1 ⊢ ∃y(x ∈ y ⋀ ∀z ∈ y (∀w(w ⊆ z → w ∈ y) ⋀ ∃w ∈ y ∀v(v ⊆ z → v ∈ w)) ⋀ ∀z(z ⊆ y → ((y ∖ z) ≼ z ⋁ z ∈ y)))

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋁ wo 222   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 779  ∀wal 958   = wceq 960   ∈ wcel 962  ∃wex 984   ≠ wne 1592  ∀wral 1652  ∃wrex 1653   ∖ cdif 2053   ⊆ wss 2056  ∅c0 2289  ∪cuni 2515   class class class wbr 2632  ωcom 3145   ≼ cdom 4379

This theorem is referenced by:  axgroth4 8787

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 966  ax-gen 967  ax-8 968  ax-9 969  ax-10 970  ax-11 971  ax-12 972  ax-13 973  ax-14 974  ax-17 975  ax-4 977  ax-5o 979  ax-6o 982  ax-9o 1129  ax-10o 1146  ax-16 1216  ax-11o 1224  ax-ext 1466  ax-rep 2706  ax-sep 2716  ax-nul 2723  ax-pow 2756  ax-pr 2793  ax-un 2880  ax-reg 4603  ax-inf2 4637  ax-ac 4756  ax-groth 8784

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 780  df-3an 781  df-ex 985  df-sb 1178  df-eu 1388  df-mo 1389  df-clab 1471  df-cleq 1476  df-clel 1479  df-ne 1594  df-nel 1595  df-ral 1656  df-rex 1657  df-reu 1658  df-rab 1659  df-v 1819  df-sbc 1949  df-csb 2010  df-dif 2058  df-un 2059  df-in 2060  df-ss 2062  df-pss 2064  df-nul 2290  df-if 2372  df-pw 2412  df-sn 2422  df-pr 2423  df-tp 2425  df-op 2426  df-uni 2516  df-int 2546  df-iun 2580  df-br 2633  df-opab 2680  df-tr 2694  df-eprel 2846  df-id 2849  df-po 2854  df-so 2864  df-fr 2931  df-we 2948  df-ord 2965  df-on 2966  df-lim 2967  df-suc 2968  df-om 3146  df-xp 3198  df-rel 3199  df-cnv 3200  df-co 3201  df-dm 3202  df-rn 3203  df-res 3204  df-ima 3205  df-fun 3206  df-fn 3207  df-f 3208  df-f1 3209  df-fo 3210  df-f1o 3211  df-fv 3212  df-iso 3213  df-rdg 3946  df-opr 3979  df-oprab 3980  df-1st 4093  df-2nd 4094  df-1o 4147  df-2o 4148  df-oadd 4149  df-omul 4150  df-er 4275  df-ec 4277  df-qs 4280  df-map 4338  df-en 4382  df-dom 4383  df-sdom 4384  df-fin 4385  df-card 4828  df-cda 4931  df-ni 5013  df-pli 5014  df-mi 5015  df-lti 5016  df-plpq 5048  df-mpq 5049  df-enq 5050  df-nq 5051  df-plq 5052  df-mq 5053  df-rq 5054  df-ltq 5055  df-1q 5056  df-np 5099  df-1p 5100  df-plp 5101  df-mp 5102  df-ltp 5103  df-plpr 5177  df-mpr 5178  df-enr 5179  df-nr 5180  df-plr 5181  df-mr 5182  df-ltr 5183  df-0r 5184  df-1r 5185  df-m1r 5186  df-c 5253  df-0 5254  df-1 5255  df-i 5256  df-r 5257  df-plus 5258  df-mul 5259  df-lt 5260  df-sub 5369  df-neg 5371  df-pnf 5500  df-mnf 5501  df-xr 5502  df-ltxr 5503  df-le 5504  df-n 5931  df-2 5976  df-n0 6106  df-z 6142  df-seq1 6491  df-exp 6582

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