Theorem axaddcom 5255

Description: Addition of complex numbers is commutative. Axiom 9 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
axaddcom	⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → (A + B) = (B + A))

Proof of Theorem axaddcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcnqs 5242	. 2 ⊢ ℂ = ((R × R) / ◡E)
2		addcnsrec 5243	. 2 ⊢ (((x ∈ R ⋀ y ∈ R) ⋀ (z ∈ R ⋀ w ∈ R)) → ([⟨x, y⟩]◡E + [⟨z, w⟩]◡E) = [⟨(x +R z), (y +R w)⟩]◡E)
3		addcnsrec 5243	. 2 ⊢ (((z ∈ R ⋀ w ∈ R) ⋀ (x ∈ R ⋀ y ∈ R)) → ([⟨z, w⟩]◡E + [⟨x, y⟩]◡E) = [⟨(z +R x), (w +R y)⟩]◡E)
4		visset 1809	. . 3 ⊢ x ∈ V
5		visset 1809	. . 3 ⊢ z ∈ V
6	4, 5	addcomsr 5176	. 2 ⊢ (x +R z) = (z +R x)
7		visset 1809	. . 3 ⊢ y ∈ V
8		visset 1809	. . 3 ⊢ w ∈ V
9	7, 8	addcomsr 5176	. 2 ⊢ (y +R w) = (w +R y)
10	1, 2, 3, 6, 9	ecoprcom 4309	1 ⊢ ((A ∈ ℂ ⋀ B ∈ ℂ) → (A + B) = (B + A))

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 954   ∈ wcel 956  Ecep 2825  ^◡ccnv 3164  (class class class)co 3954  Rcnr 4973   +_R cplr 4977  ℂcc 5212   + caddc 5217

This theorem is referenced by:  addcomt 5285  addcom 5302  addid2t 5309  add12t 5316  add23t 5317  add42t 5319  cnegextlem1 5325  cnegextlem3 5327  addcan 5331  addcan2t 5333  subsub23t 5356  addsubt 5364  addsub12t 5366  pncan2t 5378  negsubdi2t 5438  sub23t 5445  nnncan1t 5447  sub4t 5456  pnpcan2t 5459  ppncant 5461  ltadd2t 5606  leadd2t 5608  ltsubadd2t 5610  lesubadd2t 5612  ltaddsub2t 5614  leaddsub2t 5616  addgtge0t 5630  ltaddpos2t 5633  addge02t 5654  conjmult 5761  recp1lt1 5857  recrecltt 5858  nnleltp1t 5909  nn0nnaddclt 6081  zaddclt 6120  zneo 6155  zneoOLD 6156  shftval2t 6292  shftval4t 6294  fzshftralt 6462  seqzval2t 6493  subsqt 6581  bernneq2 6592  rimul 6683  imret 6718  fsumrev 6975  fsumshft 6977  bcxmas 7022  climshft2 7051  climaddc2 7063  efaddlem14 7301  ef1tllem 7331  cosnegt 7393  addcost 7409  sincossqt 7411  cos2tt 7413  absefit 7432  demoivre 7434  nn0ennn 7447  ioo2bl 7864  cnaddabl 8078  addinv 8080  ipval2 8304  hhph 8984  golem1 10136  stcltrlem1 10141  cdj3lem3b 10301  truni1 10422  2wsms 10510

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-plp 5068  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-c 5220  df-plus 5225

Copyright terms: Public domain