Theorem ax1ne0 5260

Description: 1 and 0 are distinct. Axiom 14 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
ax1ne0	⊢ 1 ≠ 0

Proof of Theorem ax1ne0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1ne0sr 5185	. . . 4 ⊢ ¬ 1R = 0R
2		1r 5170	. . . . . 6 ⊢ 1R ∈ R
3	2	elisseti 1814	. . . . 5 ⊢ 1R ∈ V
4	3	eqresr 5235	. . . 4 ⊢ (⟨1R, 0R⟩ = ⟨0R, 0R⟩ ↔ 1R = 0R)
5	1, 4	mtbir 192	. . 3 ⊢ ¬ ⟨1R, 0R⟩ = ⟨0R, 0R⟩
6		df-1 5222	. . . 4 ⊢ 1 = ⟨1R, 0R⟩
7		df-0 5221	. . . 4 ⊢ 0 = ⟨0R, 0R⟩
8	6, 7	eqeq12i 1485	. . 3 ⊢ (1 = 0 ↔ ⟨1R, 0R⟩ = ⟨0R, 0R⟩)
9	5, 8	mtbir 192	. 2 ⊢ ¬ 1 = 0
10		df-ne 1584	. 2 ⊢ (1 ≠ 0 ↔ ¬ 1 = 0)
11	9, 10	mpbir 190	1 ⊢ 1 ≠ 0

Syntax hints:  ¬ wn 2   = wceq 954   ≠ wne 1582  ⟨cop 2407  Rcnr 4973  0_Rc0r 4974  1_Rc1r 4975  0cc0 5214  1c1 5215

This theorem is referenced by:  elimne0 5296  ine0 5414  lt01 5661  mulcant2 5668  recne0z 5702  div11t 5729  recrec 5733  div1 5736  recrect 5740  recdivt 5754  divdivmult 5759  recgt0i 5778  expne0it 6527  efseq1ex 7256  erelem2 7270  efne0t 7319  dscmet 7870  ablmul 8083  mulid 8084  vcoprne 8150  efif1lem5 8668  pilog 8707  hvsubcant 8880  hvsubcan2t 8881  norm1ex 9061  kbpjt 9819  large 10132  superpos 10218

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-ltp 5070  df-enr 5146  df-nr 5147  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-0 5221  df-1 5222

Copyright terms: Public domain