Theorem ax1id 5262

Description: 1 is an identity element for multiplication. Axiom 16 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
ax1id	⊢ (A ∈ ℂ → (A · 1) = A)

Proof of Theorem ax1id

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-c 5220	. 2 ⊢ ℂ = (R × R)
2		opreq1 3959	. . 3 ⊢ (⟨x, y⟩ = A → (⟨x, y⟩ · 1) = (A · 1))
3		id 59	. . 3 ⊢ (⟨x, y⟩ = A → ⟨x, y⟩ = A)
4	2, 3	eqeq12d 1486	. 2 ⊢ (⟨x, y⟩ = A → ((⟨x, y⟩ · 1) = ⟨x, y⟩ ↔ (A · 1) = A))
5		1r 5170	. . . . . 6 ⊢ 1R ∈ R
6		0r 5169	. . . . . 6 ⊢ 0R ∈ R
7	5, 6	pm3.2i 285	. . . . 5 ⊢ (1R ∈ R ⋀ 0R ∈ R)
8		mulcnsr 5234	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ R ⋀ y ∈ R) ⋀ (1R ∈ R ⋀ 0R ∈ R)) → (⟨x, y⟩ · ⟨1R, 0R⟩) = ⟨((x ·R 1R) +R (-1R ·R (y ·R 0R))), ((y ·R 1R) +R (x ·R 0R))⟩)
9	7, 8	mpan2 695	. . . 4 ⊢ ((x ∈ R ⋀ y ∈ R) → (⟨x, y⟩ · ⟨1R, 0R⟩) = ⟨((x ·R 1R) +R (-1R ·R (y ·R 0R))), ((y ·R 1R) +R (x ·R 0R))⟩)
10		00sr 5188	. . . . . . . . 9 ⊢ (y ∈ R → (y ·R 0R) = 0R)
11	10	opreq2d 3967	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ R → (-1R ·R (y ·R 0R)) = (-1R ·R 0R))
12		m1r 5171	. . . . . . . . 9 ⊢ -1R ∈ R
13		00sr 5188	. . . . . . . . 9 ⊢ (-1R ∈ R → (-1R ·R 0R) = 0R)
14	12, 13	ax-mp 7	. . . . . . . 8 ⊢ (-1R ·R 0R) = 0R
15	11, 14	syl6eq 1520	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ R → (-1R ·R (y ·R 0R)) = 0R)
16	15	opreq2d 3967	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ R → ((x ·R 1R) +R (-1R ·R (y ·R 0R))) = ((x ·R 1R) +R 0R))
17		1idsr 5187	. . . . . . . 8 ⊢ (x ∈ R → (x ·R 1R) = x)
18	17	opreq1d 3966	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ R → ((x ·R 1R) +R 0R) = (x +R 0R))
19		0idsr 5186	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ R → (x +R 0R) = x)
20	18, 19	eqtrd 1504	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ R → ((x ·R 1R) +R 0R) = x)
21	16, 20	sylan9eqr 1526	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ R ⋀ y ∈ R) → ((x ·R 1R) +R (-1R ·R (y ·R 0R))) = x)
22		00sr 5188	. . . . . . 7 ⊢ (x ∈ R → (x ·R 0R) = 0R)
23	22	opreq2d 3967	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ R → ((y ·R 1R) +R (x ·R 0R)) = ((y ·R 1R) +R 0R))
24		1idsr 5187	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ R → (y ·R 1R) = y)
25	24	opreq1d 3966	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ R → ((y ·R 1R) +R 0R) = (y +R 0R))
26		0idsr 5186	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ R → (y +R 0R) = y)
27	25, 26	eqtrd 1504	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ R → ((y ·R 1R) +R 0R) = y)
28	23, 27	sylan9eq 1524	. . . . 5 ⊢ ((x ∈ R ⋀ y ∈ R) → ((y ·R 1R) +R (x ·R 0R)) = y)
29	21, 28	opeq12d 2491	. . . 4 ⊢ ((x ∈ R ⋀ y ∈ R) → ⟨((x ·R 1R) +R (-1R ·R (y ·R 0R))), ((y ·R 1R) +R (x ·R 0R))⟩ = ⟨x, y⟩)
30	9, 29	eqtrd 1504	. . 3 ⊢ ((x ∈ R ⋀ y ∈ R) → (⟨x, y⟩ · ⟨1R, 0R⟩) = ⟨x, y⟩)
31		df-1 5222	. . . 4 ⊢ 1 = ⟨1R, 0R⟩
32	31	opreq2i 3963	. . 3 ⊢ (⟨x, y⟩ · 1) = (⟨x, y⟩ · ⟨1R, 0R⟩)
33	30, 32	syl5eq 1516	. 2 ⊢ ((x ∈ R ⋀ y ∈ R) → (⟨x, y⟩ · 1) = ⟨x, y⟩)
34	1, 4, 33	optocl 3230	1 ⊢ (A ∈ ℂ → (A · 1) = A)

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 954   ∈ wcel 956  ⟨cop 2407  (class class class)co 3954  Rcnr 4973  0_Rc0r 4974  1_Rc1r 4975  -1_Rcm1r 4976   +_R cplr 4977   ·_R cmr 4978  ℂcc 5212  1c1 5215   · cmul 5219

This theorem is referenced by:  mulid1t 5291  mulid1 5312  mulid2t 5397  muladd11t 5402  muleqaddt 5677  divadddivt 5748  divdivmult 5759  conjmult 5761  mulgt1t 5809  ltmulgt11t 5810  lemulge11t 5812  nnmulclt 5897  expaddt 6535  expmult 6536  sq01t 6590  bernneq 6591  crrecz 6680  imret 6718  facwordit 6889  faclbnd 6890  faclbnd2 6891  faclbnd4lem3 6895  faclbnd6 6899  facavgt 6900  bcn0t 6909  bcnp11t 6911  binomlem1 7012  binomlem4 7015  fnsmnt 7169  geoser 7177  efexpt 7322  efnn0valt 7323  cos01gt0 7427  abseft 7433  cnring 8114  nmoub3i 8381  ipasslem2 8435  ubthlem10 8482  htthlem6 8568  sinper 8628  cosper 8629  nmopub2tALT 9773  nmfnleub2t 9789  nmcopexlem5 9893  nmcfnexlem5 9922  nmopcoadj 9972  branmfnt 9976

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-1 5222  df-mul 5226

Copyright terms: Public domain