Theorem ax0id 5253

Description: 0 is an identity element for addition. Axiom 15 of 25 for real and complex numbers, derived from ZF set theory.

Assertion

Ref	Expression
ax0id	⊢ (A ∈ ℂ → (A + 0) = A)

Proof of Theorem ax0id

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-c 5212	. 2 ⊢ ℂ = (R × R)
2		opreq1 3953	. . 3 ⊢ (⟨x, y⟩ = A → (⟨x, y⟩ + 0) = (A + 0))
3		id 59	. . 3 ⊢ (⟨x, y⟩ = A → ⟨x, y⟩ = A)
4	2, 3	eqeq12d 1481	. 2 ⊢ (⟨x, y⟩ = A → ((⟨x, y⟩ + 0) = ⟨x, y⟩ ↔ (A + 0) = A))
5		0r 5161	. . . . . 6 ⊢ 0R ∈ R
6	5, 5	pm3.2i 285	. . . . 5 ⊢ (0R ∈ R ⋀ 0R ∈ R)
7		addcnsr 5225	. . . . 5 ⊢ (((x ∈ R ⋀ y ∈ R) ⋀ (0R ∈ R ⋀ 0R ∈ R)) → (⟨x, y⟩ + ⟨0R, 0R⟩) = ⟨(x +R 0R), (y +R 0R)⟩)
8	6, 7	mpan2 694	. . . 4 ⊢ ((x ∈ R ⋀ y ∈ R) → (⟨x, y⟩ + ⟨0R, 0R⟩) = ⟨(x +R 0R), (y +R 0R)⟩)
9		opeq12 2480	. . . . 5 ⊢ (((x +R 0R) = x ⋀ (y +R 0R) = y) → ⟨(x +R 0R), (y +R 0R)⟩ = ⟨x, y⟩)
10		0idsr 5178	. . . . 5 ⊢ (x ∈ R → (x +R 0R) = x)
11		0idsr 5178	. . . . 5 ⊢ (y ∈ R → (y +R 0R) = y)
12	9, 10, 11	syl2an 454	. . . 4 ⊢ ((x ∈ R ⋀ y ∈ R) → ⟨(x +R 0R), (y +R 0R)⟩ = ⟨x, y⟩)
13	8, 12	eqtrd 1499	. . 3 ⊢ ((x ∈ R ⋀ y ∈ R) → (⟨x, y⟩ + ⟨0R, 0R⟩) = ⟨x, y⟩)
14		df-0 5213	. . . 4 ⊢ 0 = ⟨0R, 0R⟩
15	14	opreq2i 3957	. . 3 ⊢ (⟨x, y⟩ + 0) = (⟨x, y⟩ + ⟨0R, 0R⟩)
16	13, 15	syl5eq 1511	. 2 ⊢ ((x ∈ R ⋀ y ∈ R) → (⟨x, y⟩ + 0) = ⟨x, y⟩)
17	1, 4, 16	optocl 3225	1 ⊢ (A ∈ ℂ → (A + 0) = A)

Syntax hints:   → wi 3   ⋀ wa 223   = wceq 953   ∈ wcel 955  ⟨cop 2401  (class class class)co 3948  Rcnr 4965  0_Rc0r 4966   +_R cplr 4969  ℂcc 5204  0cc0 5206   + caddc 5209

This theorem is referenced by:  addid1t 5282  addid2t 5301  addid1 5302  pncant 5369  ltaddpost 5624  addge01t 5645  nnge1t 5891  nnleltp1t 5901  nn0addclt 6067  nnnn0addclt 6072  ser1mono 6274  shftval3t 6285  uzaddclt 6381  expaddt 6527  reim0bt 6712  recjt 6753  faclbnd4lem4 6888  faclbnd6 6891  csbfsum 6965  iserzex 7082  metsym 7755  ipid 8297  sinper 8609  sinhalfpip 8616  efifolem6 8642  normpyct 8934  pjthlem8 9141  pjspansnt 9417  lnfnmul 9888  hstoht 10069  iintlem1 10476

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-0r 5143  df-c 5212  df-0 5213  df-plus 5217

Copyright terms: Public domain