Theorem adjlnopt 9934

Description: The adjoint of an operator is linear. Proposition 1 of [AkhiezerGlazman] p. 80.

Assertion

Ref	Expression
adjlnopt	⊢ (T ∈ dom adjh → (adjh ‘T) ∈ LinOp)

Proof of Theorem adjlnopt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dmadjrnt 9738	. . . 4 ⊢ (T ∈ dom adjh → (adjh ‘T) ∈ dom adjh)
2		dmadjopt 9737	. . . 4 ⊢ ((adjh ‘T) ∈ dom adjh → (adjh ‘T): ℋ –→ ℋ )
3	1, 2	syl 10	. . 3 ⊢ (T ∈ dom adjh → (adjh ‘T): ℋ –→ ℋ )
4		his7t 8877	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((T ‘w) ∈ ℋ ⋀ (x ·h y) ∈ ℋ ⋀ z ∈ ℋ ) → ((T ‘w) ·ih ((x ·h y) +h z)) = (((T ‘w) ·ih (x ·h y)) + ((T ‘w) ·ih z)))
5		ffvelrn 3799	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((T: ℋ –→ ℋ ⋀ w ∈ ℋ ) → (T ‘w) ∈ ℋ )
6		dmadjopt 9737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (T ∈ dom adjh → T: ℋ –→ ℋ )
7	5, 6	sylan 448	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ w ∈ ℋ ) → (T ‘w) ∈ ℋ )
8	7	3adant3 797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ w ∈ ℋ ⋀ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℋ ) ⋀ z ∈ ℋ )) → (T ‘w) ∈ ℋ )
9		hvmulclt 8804	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℋ ) → (x ·h y) ∈ ℋ )
10	9	adantr 389	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℋ ) ⋀ z ∈ ℋ ) → (x ·h y) ∈ ℋ )
11	10	3ad2ant3 800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ w ∈ ℋ ⋀ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℋ ) ⋀ z ∈ ℋ )) → (x ·h y) ∈ ℋ )
12		pm3.27 323	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℋ ) ⋀ z ∈ ℋ ) → z ∈ ℋ )
13	12	3ad2ant3 800	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ w ∈ ℋ ⋀ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℋ ) ⋀ z ∈ ℋ )) → z ∈ ℋ )
14	4, 8, 11, 13	syl3anc 856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ w ∈ ℋ ⋀ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℋ ) ⋀ z ∈ ℋ )) → ((T ‘w) ·ih ((x ·h y) +h z)) = (((T ‘w) ·ih (x ·h y)) + ((T ‘w) ·ih z)))
15		adj2t 9774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ w ∈ ℋ ⋀ ((x ·h y) +h z) ∈ ℋ ) → ((T ‘w) ·ih ((x ·h y) +h z)) = (w ·ih ((adjh ‘T) ‘((x ·h y) +h z))))
16		hvaddclt 8803	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((x ·h y) ∈ ℋ ⋀ z ∈ ℋ ) → ((x ·h y) +h z) ∈ ℋ )
17	16, 9	sylan 448	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℋ ) ⋀ z ∈ ℋ ) → ((x ·h y) +h z) ∈ ℋ )
18	15, 17	syl3an3 859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ w ∈ ℋ ⋀ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℋ ) ⋀ z ∈ ℋ )) → ((T ‘w) ·ih ((x ·h y) +h z)) = (w ·ih ((adjh ‘T) ‘((x ·h y) +h z))))
19		adj2t 9774	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ w ∈ ℋ ⋀ y ∈ ℋ ) → ((T ‘w) ·ih y) = (w ·ih ((adjh ‘T) ‘y)))
20	19	3adant3l 854	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ w ∈ ℋ ⋀ (x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℋ )) → ((T ‘w) ·ih y) = (w ·ih ((adjh ‘T) ‘y)))
21	20	opreq2d 3961	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ w ∈ ℋ ⋀ (x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℋ )) → ((∗ ‘x) · ((T ‘w) ·ih y)) = ((∗ ‘x) · (w ·ih ((adjh ‘T) ‘y))))
22		his5t 8874	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((x ∈ ℂ ⋀ (T ‘w) ∈ ℋ ⋀ y ∈ ℋ ) → ((T ‘w) ·ih (x ·h y)) = ((∗ ‘x) · ((T ‘w) ·ih y)))
23		pm3.26 319	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℋ ) → x ∈ ℂ)
24	23	3ad2ant3 800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ w ∈ ℋ ⋀ (x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℋ )) → x ∈ ℂ)
25	7	3adant3 797	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ w ∈ ℋ ⋀ (x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℋ )) → (T ‘w) ∈ ℋ )
26		pm3.27 323	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℋ ) → y ∈ ℋ )
27	26	3ad2ant3 800	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ w ∈ ℋ ⋀ (x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℋ )) → y ∈ ℋ )
28	22, 24, 25, 27	syl3anc 856	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ w ∈ ℋ ⋀ (x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℋ )) → ((T ‘w) ·ih (x ·h y)) = ((∗ ‘x) · ((T ‘w) ·ih y)))
29		his5t 8874	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((x ∈ ℂ ⋀ w ∈ ℋ ⋀ ((adjh ‘T) ‘y) ∈ ℋ ) → (w ·ih (x ·h ((adjh ‘T) ‘y))) = ((∗ ‘x) · (w ·ih ((adjh ‘T) ‘y))))
30		3simp2 787	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ w ∈ ℋ ⋀ (x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℋ )) → w ∈ ℋ )
31		adjclt 9772	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ y ∈ ℋ ) → ((adjh ‘T) ‘y) ∈ ℋ )
32	31	adantrl 394	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ (x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℋ )) → ((adjh ‘T) ‘y) ∈ ℋ )
33	32	3adant2 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ w ∈ ℋ ⋀ (x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℋ )) → ((adjh ‘T) ‘y) ∈ ℋ )
34	29, 24, 30, 33	syl3anc 856	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ w ∈ ℋ ⋀ (x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℋ )) → (w ·ih (x ·h ((adjh ‘T) ‘y))) = ((∗ ‘x) · (w ·ih ((adjh ‘T) ‘y))))
35	21, 28, 34	3eqtr4d 1509	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ w ∈ ℋ ⋀ (x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℋ )) → ((T ‘w) ·ih (x ·h y)) = (w ·ih (x ·h ((adjh ‘T) ‘y))))
36	35	3adant3r 855	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ w ∈ ℋ ⋀ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℋ ) ⋀ z ∈ ℋ )) → ((T ‘w) ·ih (x ·h y)) = (w ·ih (x ·h ((adjh ‘T) ‘y))))
37		adj2t 9774	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ w ∈ ℋ ⋀ z ∈ ℋ ) → ((T ‘w) ·ih z) = (w ·ih ((adjh ‘T) ‘z)))
38	37	3adant3l 854	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ w ∈ ℋ ⋀ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℋ ) ⋀ z ∈ ℋ )) → ((T ‘w) ·ih z) = (w ·ih ((adjh ‘T) ‘z)))
39	36, 38	opreq12d 3963	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ w ∈ ℋ ⋀ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℋ ) ⋀ z ∈ ℋ )) → (((T ‘w) ·ih (x ·h y)) + ((T ‘w) ·ih z)) = ((w ·ih (x ·h ((adjh ‘T) ‘y))) + (w ·ih ((adjh ‘T) ‘z))))
40		his7t 8877	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((w ∈ ℋ ⋀ (x ·h ((adjh ‘T) ‘y)) ∈ ℋ ⋀ ((adjh ‘T) ‘z) ∈ ℋ ) → (w ·ih ((x ·h ((adjh ‘T) ‘y)) +h ((adjh ‘T) ‘z))) = ((w ·ih (x ·h ((adjh ‘T) ‘y))) + (w ·ih ((adjh ‘T) ‘z))))
41		3simp2 787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ w ∈ ℋ ⋀ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℋ ) ⋀ z ∈ ℋ )) → w ∈ ℋ )
42		hvmulclt 8804	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((x ∈ ℂ ⋀ ((adjh ‘T) ‘y) ∈ ℋ ) → (x ·h ((adjh ‘T) ‘y)) ∈ ℋ )
43	42, 31	sylan2 451	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((x ∈ ℂ ⋀ (T ∈ dom adjh ⋀ y ∈ ℋ )) → (x ·h ((adjh ‘T) ‘y)) ∈ ℋ )
44	43	an1s 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ (x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℋ )) → (x ·h ((adjh ‘T) ‘y)) ∈ ℋ )
45	44	adantrr 395	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℋ ) ⋀ z ∈ ℋ )) → (x ·h ((adjh ‘T) ‘y)) ∈ ℋ )
46	45	3adant2 796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ w ∈ ℋ ⋀ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℋ ) ⋀ z ∈ ℋ )) → (x ·h ((adjh ‘T) ‘y)) ∈ ℋ )
47		adjclt 9772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ z ∈ ℋ ) → ((adjh ‘T) ‘z) ∈ ℋ )
48	47	adantrl 394	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℋ ) ⋀ z ∈ ℋ )) → ((adjh ‘T) ‘z) ∈ ℋ )
49	48	3adant2 796	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ w ∈ ℋ ⋀ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℋ ) ⋀ z ∈ ℋ )) → ((adjh ‘T) ‘z) ∈ ℋ )
50	40, 41, 46, 49	syl3anc 856	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ w ∈ ℋ ⋀ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℋ ) ⋀ z ∈ ℋ )) → (w ·ih ((x ·h ((adjh ‘T) ‘y)) +h ((adjh ‘T) ‘z))) = ((w ·ih (x ·h ((adjh ‘T) ‘y))) + (w ·ih ((adjh ‘T) ‘z))))
51	39, 50	eqtr4d 1502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ w ∈ ℋ ⋀ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℋ ) ⋀ z ∈ ℋ )) → (((T ‘w) ·ih (x ·h y)) + ((T ‘w) ·ih z)) = (w ·ih ((x ·h ((adjh ‘T) ‘y)) +h ((adjh ‘T) ‘z))))
52	14, 18, 51	3eqtr3d 1507	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ w ∈ ℋ ⋀ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℋ ) ⋀ z ∈ ℋ )) → (w ·ih ((adjh ‘T) ‘((x ·h y) +h z))) = (w ·ih ((x ·h ((adjh ‘T) ‘y)) +h ((adjh ‘T) ‘z))))
53	52	3com23 837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℋ ) ⋀ z ∈ ℋ ) ⋀ w ∈ ℋ ) → (w ·ih ((adjh ‘T) ‘((x ·h y) +h z))) = (w ·ih ((x ·h ((adjh ‘T) ‘y)) +h ((adjh ‘T) ‘z))))
54	53	3expa 831	. . . . . . . 8 ⊢ (((T ∈ dom adjh ⋀ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℋ ) ⋀ z ∈ ℋ )) ⋀ w ∈ ℋ ) → (w ·ih ((adjh ‘T) ‘((x ·h y) +h z))) = (w ·ih ((x ·h ((adjh ‘T) ‘y)) +h ((adjh ‘T) ‘z))))
55	54	r19.21aiva 1706	. . . . . . 7 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℋ ) ⋀ z ∈ ℋ )) → ∀w ∈ ℋ (w ·ih ((adjh ‘T) ‘((x ·h y) +h z))) = (w ·ih ((x ·h ((adjh ‘T) ‘y)) +h ((adjh ‘T) ‘z))))
56		hial2eq2t 8894	. . . . . . . 8 ⊢ ((((adjh ‘T) ‘((x ·h y) +h z)) ∈ ℋ ⋀ ((x ·h ((adjh ‘T) ‘y)) +h ((adjh ‘T) ‘z)) ∈ ℋ ) → (∀w ∈ ℋ (w ·ih ((adjh ‘T) ‘((x ·h y) +h z))) = (w ·ih ((x ·h ((adjh ‘T) ‘y)) +h ((adjh ‘T) ‘z))) ↔ ((adjh ‘T) ‘((x ·h y) +h z)) = ((x ·h ((adjh ‘T) ‘y)) +h ((adjh ‘T) ‘z))))
57		adjclt 9772	. . . . . . . . 9 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ ((x ·h y) +h z) ∈ ℋ ) → ((adjh ‘T) ‘((x ·h y) +h z)) ∈ ℋ )
58	57, 17	sylan2 451	. . . . . . . 8 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℋ ) ⋀ z ∈ ℋ )) → ((adjh ‘T) ‘((x ·h y) +h z)) ∈ ℋ )
59		hvaddclt 8803	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((x ·h ((adjh ‘T) ‘y)) ∈ ℋ ⋀ ((adjh ‘T) ‘z) ∈ ℋ ) → ((x ·h ((adjh ‘T) ‘y)) +h ((adjh ‘T) ‘z)) ∈ ℋ )
60	59, 44, 47	syl2an 454	. . . . . . . . 9 ⊢ (((T ∈ dom adjh ⋀ (x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℋ )) ⋀ (T ∈ dom adjh ⋀ z ∈ ℋ )) → ((x ·h ((adjh ‘T) ‘y)) +h ((adjh ‘T) ‘z)) ∈ ℋ )
61	60	anandis 511	. . . . . . . 8 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℋ ) ⋀ z ∈ ℋ )) → ((x ·h ((adjh ‘T) ‘y)) +h ((adjh ‘T) ‘z)) ∈ ℋ )
62	56, 58, 61	sylanc 471	. . . . . . 7 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℋ ) ⋀ z ∈ ℋ )) → (∀w ∈ ℋ (w ·ih ((adjh ‘T) ‘((x ·h y) +h z))) = (w ·ih ((x ·h ((adjh ‘T) ‘y)) +h ((adjh ‘T) ‘z))) ↔ ((adjh ‘T) ‘((x ·h y) +h z)) = ((x ·h ((adjh ‘T) ‘y)) +h ((adjh ‘T) ‘z))))
63	55, 62	mpbid 195	. . . . . 6 ⊢ ((T ∈ dom adjh ⋀ ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℋ ) ⋀ z ∈ ℋ )) → ((adjh ‘T) ‘((x ·h y) +h z)) = ((x ·h ((adjh ‘T) ‘y)) +h ((adjh ‘T) ‘z)))
64	63	exp32 377	. . . . 5 ⊢ (T ∈ dom adjh → ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℋ ) → (z ∈ ℋ → ((adjh ‘T) ‘((x ·h y) +h z)) = ((x ·h ((adjh ‘T) ‘y)) +h ((adjh ‘T) ‘z)))))
65	64	r19.21adv 1710	. . . 4 ⊢ (T ∈ dom adjh → ((x ∈ ℂ ⋀ y ∈ ℋ ) → ∀z ∈ ℋ ((adjh ‘T) ‘((x ·h y) +h z)) = ((x ·h ((adjh ‘T) ‘y)) +h ((adjh ‘T) ‘z))))
66	65	r19.21aivv 1712	. . 3 ⊢ (T ∈ dom adjh → ∀x ∈ ℂ ∀y ∈ ℋ ∀z ∈ ℋ ((adjh ‘T) ‘((x ·h y) +h z)) = ((x ·h ((adjh ‘T) ‘y)) +h ((adjh ‘T) ‘z)))
67	3, 66	jca 288	. 2 ⊢ (T ∈ dom adjh → ((adjh ‘T): ℋ –→ ℋ ⋀ ∀x ∈ ℂ ∀y ∈ ℋ ∀z ∈ ℋ ((adjh ‘T) ‘((x ·h y) +h z)) = ((x ·h ((adjh ‘T) ‘y)) +h ((adjh ‘T) ‘z))))
68		ellnopt 9701	. 2 ⊢ ((adjh ‘T) ∈ LinOp ↔ ((adjh ‘T): ℋ –→ ℋ ⋀ ∀x ∈ ℂ ∀y ∈ ℋ ∀z ∈ ℋ ((adjh ‘T) ‘((x ·h y) +h z)) = ((x ·h ((adjh ‘T) ‘y)) +h ((adjh ‘T) ‘z))))
69	67, 68	sylibr 200	1 ⊢ (T ∈ dom adjh → (adjh ‘T) ∈ LinOp)

Syntax hints:   → wi 3   ↔ wb 146   ⋀ wa 223   ⋀ w3a 773   = wceq 953   ∈ wcel 955  ∀wral 1637  dom cdm 3160  –→wf 3168   ‘cfv 3172  (class class class)co 3948  ℂcc 5204   + caddc 5209   · cmul 5211  ∗ccj 6680   ℋ chil 8727   +_h cva 8728   ·_h csm 8729   ·_ih csp 8732  LinOpclo 8755  adj_hcado 8763

This theorem is referenced by:  adjsslnop 9935

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 959  ax-gen 960  ax-8 961  ax-9 962  ax-10 963  ax-11 964  ax-12 965  ax-13 966  ax-14 967  ax-17 968  ax-4 970  ax-5o 972  ax-6o 975  ax-9o 1119  ax-10o 1136  ax-16 1206  ax-11o 1213  ax-ext 1452  ax-rep 2683  ax-sep 2693  ax-nul 2700  ax-pow 2732  ax-pr 2769  ax-un 2857  ax-inf2 4597  ax-hilex 8790  ax-hfvadd 8791  ax-hvcom 8792  ax-hvass 8793  ax-hv0cl 8794  ax-hvaddid 8795  ax-hfvmul 8796  ax-hvmulid 8797  ax-hvdistr2 8800  ax-hvmul0 8801  ax-hfi 8867  ax-his1 8870  ax-his2 8871  ax-his3 8872  ax-his4 8873

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 774  df-3an 775  df-ex 978  df-sb 1168  df-eu 1375  df-mo 1376  df-clab 1457  df-cleq 1462  df-clel 1465  df-ne 1579  df-nel 1580  df-ral 1641  df-rex 1642  df-reu 1643  df-rab 1644  df-v 1803  df-sbc 1932  df-csb 1992  df-dif 2039  df-un 2040  df-in 2041  df-ss 2043  df-pss 2045  df-nul 2271  df-if 2352  df-pw 2392  df-sn 2402  df-pr 2403  df-tp 2405  df-op 2406  df-uni 2494  df-int 2524  df-iun 2558  df-br 2610  df-opab 2657  df-tr 2671  df-eprel 2821  df-id 2824  df-po 2831  df-so 2841  df-fr 2907  df-we 2924  df-ord 2941  df-on 2942  df-lim 2943  df-suc 2944  df-om 3122  df-xp 3174  df-rel 3175  df-cnv 3176  df-co 3177  df-dm 3178  df-rn 3179  df-res 3180  df-ima 3181  df-fun 3182  df-fn 3183  df-f 3184  df-f1 3185  df-fo 3186  df-f1o 3187  df-fv 3188  df-rdg 3917  df-opr 3950  df-oprab 3951  df-1st 4063  df-2nd 4064  df-1o 4117  df-oadd 4119  df-omul 4120  df-er 4245  df-ec 4247  df-qs 4250  df-map 4308  df-en 4351  df-dom 4352  df-sdom 4353  df-ni 4972  df-pli 4973  df-mi 4974  df-lti 4975  df-plpq 5007  df-mpq 5008  df-enq 5009  df-nq 5010  df-plq 5011  df-mq 5012  df-rq 5013  df-ltq 5014  df-1q 5015  df-np 5058  df-1p 5059  df-plp 5060  df-mp 5061  df-ltp 5062  df-plpr 5136  df-mpr 5137  df-enr 5138  df-nr 5139  df-plr 5140  df-mr 5141  df-ltr 5142  df-0r 5143  df-1r 5144  df-m1r 5145  df-c 5212  df-0 5213  df-1 5214  df-i 5215  df-r 5216  df-plus 5217  df-mul 5218  df-lt 5219  df-sub 5328  df-neg 5330  df-pnf 5459  df-mnf 5460  df-xr 5461  df-ltxr 5462  df-le 5463  df-div 5672  df-re 6682  df-im 6683  df-cj 6684  df-hvsub 8779  df-lnop 9684  df-adjh 9692

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