Theorem zorn2lem2 4789

Description: Lemma for zorn2 4796.

Hypotheses

Ref	Expression
zorn2lem.1	|- A e. V
zorn2lem.2	|- B = {f | E.h e. On (f Fn h /\ A.t e. h (f` t) = (G` (f |` t)))}
zorn2lem.3	|- F = U.B
zorn2lem.4	|- C = {z e. A | A.g e. ran f gRz}
zorn2lem.5	|- D = {z e. A | A.g e. (F"x)gRz}
zorn2lem.6	|- G = {<.f, t>. | t = U.{v e. C | A.u e. C -. uwv}}

Assertion

Ref	Expression
zorn2lem2	|- ((x e. On /\ (w We A /\ D =/= (/))) -> (y e. x -> (F` y)R(F` x)))

Distinct variable groups:   x,y,w,h,t,z,f,g,u,v,A   B,h,t,f   x,F,y,z,v,u,f,g,h,t   h,G,t,f   t,C   y,D,u,v,f,t   x,R,y,z,w,g,u,v,f,t

Proof of Theorem zorn2lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		onsst 2992	. . . . 5 |- (x e. On -> x (_ On)
2		zorn2lem.2	. . . . . . 7 |- B = {f | E.h e. On (f Fn h /\ A.t e. h (f` t) = (G` (f |` t)))}
3		zorn2lem.3	. . . . . . 7 |- F = U.B
4	2, 3	tfr1 3924	. . . . . 6 |- F Fn On
5		fndm 3587	. . . . . 6 |- (F Fn On -> dom F = On)
6	4, 5	ax-mp 7	. . . . 5 |- dom F = On
7	1, 6	syl6ssr 2108	. . . 4 |- (x e. On -> x (_ dom F)
8	2, 3	tfrlem7 3917	. . . . 5 |- Fun F
9		funfvima2 3853	. . . . 5 |- ((Fun F /\ x (_ dom F) -> (y e. x -> (F` y) e. (F"x)))
10	8, 9	mpan 695	. . . 4 |- (x (_ dom F -> (y e. x -> (F` y) e. (F"x)))
11	7, 10	syl 10	. . 3 |- (x e. On -> (y e. x -> (F` y) e. (F"x)))
12	11	adantr 389	. 2 |- ((x e. On /\ (w We A /\ D =/= (/))) -> (y e. x -> (F` y) e. (F"x)))
13		zorn2lem.1	. . . 4 |- A e. V
14		zorn2lem.4	. . . 4 |- C = {z e. A | A.g e. ran f gRz}
15		zorn2lem.5	. . . 4 |- D = {z e. A | A.g e. (F"x)gRz}
16		zorn2lem.6	. . . 4 |- G = {<.f, t>. | t = U.{v e. C | A.u e. C -. uwv}}
17	13, 2, 3, 14, 15, 16	zorn2lem1 4788	. . 3 |- ((x e. On /\ (w We A /\ D =/= (/))) -> (F` x) e. D)
18		breq2 2623	. . . . . 6 |- (z = (F` x) -> (gRz <-> gR(F` x)))
19	18	ralbidv 1663	. . . . 5 |- (z = (F` x) -> (A.g e. (F"x)gRz <-> A.g e. (F"x)gR(F` x)))
20	19, 15	elrab2 1907	. . . 4 |- ((F` x) e. D <-> ((F` x) e. A /\ A.g e. (F"x)gR(F` x)))
21	20	pm3.27bi 326	. . 3 |- ((F` x) e. D -> A.g e. (F"x)gR(F` x))
22		breq1 2622	. . . 4 |- (g = (F` y) -> (gR(F` x) <-> (F` y)R(F` x)))
23	22	rcla4cv 1874	. . 3 |- (A.g e. (F"x)gR(F` x) -> ((F` y) e. (F"x) -> (F` y)R(F` x)))
24	17, 21, 23	3syl 20	. 2 |- ((x e. On /\ (w We A /\ D =/= (/))) -> ((F` y) e. (F"x) -> (F` y)R(F` x)))
25	12, 24	syld 27	1 |- ((x e. On /\ (w We A /\ D =/= (/))) -> (y e. x -> (F` y)R(F` x)))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  {cab 1463   =/= wne 1585  A.wral 1645  E.wrex 1646  {crab 1648  Vcvv 1811   (_ wss 2047  (/)c0 2280  U.cuni 2503   class class class wbr 2619  {copab 2666   We wwe 2916  Oncon0 2948  dom cdm 3170  ran crn 3171   |` cres 3172  "cima 3173  Fun wfun 3176   Fn wfn 3177  ` cfv 3182

This theorem is referenced by:  zorn2lem3 4790  zorn2lem6 4793

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-suc 2954  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-fv 3198

Copyright terms: Public domain