Theorem znq 6258

Description: The ratio of an integer and a natural number is a rational number.

Assertion

Ref	Expression
znq	|- ((A e. ZZ /\ B e. NN) -> (A / B) e. QQ)

Proof of Theorem znq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 1475	. . 3 |- (A / B) = (A / B)
2		rcla4eopr 3990	. . 3 |- ((A e. ZZ /\ B e. NN /\ (A / B) = (A / B)) -> E.x e. ZZ E.y e. NN (A / B) = (x / y))
3	1, 2	mp3an3 905	. 2 |- ((A e. ZZ /\ B e. NN) -> E.x e. ZZ E.y e. NN (A / B) = (x / y))
4		elq 6257	. 2 |- ((A / B) e. QQ <-> E.x e. ZZ E.y e. NN (A / B) = (x / y))
5	3, 4	sylibr 200	1 |- ((A e. ZZ /\ B e. NN) -> (A / B) e. QQ)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958  E.wrex 1646  (class class class)co 3963   / cdiv 5294  NNcn 5296  ZZcz 5298  QQcq 5299

This theorem is referenced by:  nnrecqt 6276  qbtwnre 6278  nthruc 6745

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-uni 2504  df-br 2620  df-opab 2667  df-xp 3184  df-cnv 3186  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fv 3198  df-opr 3965  df-q 6256

Copyright terms: Public domain