Theorem zneoOLD 6156

Description: No even integer equals an odd integer (i.e. no integer can be both even and odd). Exercise 10(a) of [Apostol] p. 28.

Assertion

Ref	Expression
zneoOLD	|- ((A e. ZZ /\ B e. ZZ) -> -. (2 x. A) = ((2 x. B) + 1))

Proof of Theorem zneoOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		halfnz 6149	. . . . 5 |- -. (1 / 2) e. ZZ
2		zcnt 6095	. . . . . . 7 |- (B e. ZZ -> B e. CC)
3		2cn 5935	. . . . . . . . . . 11 |- 2 e. CC
4		2ne0 5945	. . . . . . . . . . 11 |- 2 =/= 0
5	3, 4	reccl 5690	. . . . . . . . . 10 |- (1 / 2) e. CC
6		axaddcom 5255	. . . . . . . . . 10 |- ((B e. CC /\ (1 / 2) e. CC) -> (B + (1 / 2)) = ((1 / 2) + B))
7	5, 6	mpan2 695	. . . . . . . . 9 |- (B e. CC -> (B + (1 / 2)) = ((1 / 2) + B))
8	7	opreq1d 3966	. . . . . . . 8 |- (B e. CC -> ((B + (1 / 2)) - B) = (((1 / 2) + B) - B))
9		pncant 5377	. . . . . . . . 9 |- (((1 / 2) e. CC /\ B e. CC) -> (((1 / 2) + B) - B) = (1 / 2))
10	5, 9	mpan 694	. . . . . . . 8 |- (B e. CC -> (((1 / 2) + B) - B) = (1 / 2))
11	8, 10	eqtrd 1504	. . . . . . 7 |- (B e. CC -> ((B + (1 / 2)) - B) = (1 / 2))
12	2, 11	syl 10	. . . . . 6 |- (B e. ZZ -> ((B + (1 / 2)) - B) = (1 / 2))
13	12	eleq1d 1537	. . . . 5 |- (B e. ZZ -> (((B + (1 / 2)) - B) e. ZZ <-> (1 / 2) e. ZZ))
14	1, 13	mtbiri 716	. . . 4 |- (B e. ZZ -> -. ((B + (1 / 2)) - B) e. ZZ)
15		zsubclt 6123	. . . . 5 |- (((B + (1 / 2)) e. ZZ /\ B e. ZZ) -> ((B + (1 / 2)) - B) e. ZZ)
16	15	expcom 374	. . . 4 |- (B e. ZZ -> ((B + (1 / 2)) e. ZZ -> ((B + (1 / 2)) - B) e. ZZ))
17	14, 16	mtod 108	. . 3 |- (B e. ZZ -> -. (B + (1 / 2)) e. ZZ)
18	17	adantl 388	. 2 |- ((A e. ZZ /\ B e. ZZ) -> -. (B + (1 / 2)) e. ZZ)
19		divcan3t 5726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((2 e. CC /\ A e. CC /\ 2 =/= 0) -> ((2 x. A) / 2) = A)
20	3, 4, 19	mp3an13 905	. . . . . . . . . . . 12 |- (A e. CC -> ((2 x. A) / 2) = A)
21		axmulcl 5253	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((2 e. CC /\ B e. CC) -> (2 x. B) e. CC)
22	3, 21	mpan 694	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (B e. CC -> (2 x. B) e. CC)
23		ax1cn 5249	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1 e. CC
24		divdirt 5721	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((((2 x. B) e. CC /\ 1 e. CC /\ 2 e. CC) /\ 2 =/= 0) -> (((2 x. B) + 1) / 2) = (((2 x. B) / 2) + (1 / 2)))
25	4, 24	mpan2 695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((2 x. B) e. CC /\ 1 e. CC /\ 2 e. CC) -> (((2 x. B) + 1) / 2) = (((2 x. B) / 2) + (1 / 2)))
26	23, 3, 25	mp3an23 906	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((2 x. B) e. CC -> (((2 x. B) + 1) / 2) = (((2 x. B) / 2) + (1 / 2)))
27	22, 26	syl 10	. . . . . . . . . . . . 13 |- (B e. CC -> (((2 x. B) + 1) / 2) = (((2 x. B) / 2) + (1 / 2)))
28		divcan3t 5726	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((2 e. CC /\ B e. CC /\ 2 =/= 0) -> ((2 x. B) / 2) = B)
29	3, 4, 28	mp3an13 905	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (B e. CC -> ((2 x. B) / 2) = B)
30	29	opreq1d 3966	. . . . . . . . . . . . 13 |- (B e. CC -> (((2 x. B) / 2) + (1 / 2)) = (B + (1 / 2)))
31	27, 30	eqtrd 1504	. . . . . . . . . . . 12 |- (B e. CC -> (((2 x. B) + 1) / 2) = (B + (1 / 2)))
32	20, 31	eqeqan12d 1487	. . . . . . . . . . 11 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> (((2 x. A) / 2) = (((2 x. B) + 1) / 2) <-> A = (B + (1 / 2))))
33		opreq1 3959	. . . . . . . . . . 11 |- ((2 x. A) = ((2 x. B) + 1) -> ((2 x. A) / 2) = (((2 x. B) + 1) / 2))
34	32, 33	syl5bi 208	. . . . . . . . . 10 |- ((A e. CC /\ B e. CC) -> ((2 x. A) = ((2 x. B) + 1) -> A = (B + (1 / 2))))
35		zcnt 6095	. . . . . . . . . 10 |- (A e. ZZ -> A e. CC)
36	34, 35, 2	syl2an 454	. . . . . . . . 9 |- ((A e. ZZ /\ B e. ZZ) -> ((2 x. A) = ((2 x. B) + 1) -> A = (B + (1 / 2))))
37	36	imp 350	. . . . . . . 8 |- (((A e. ZZ /\ B e. ZZ) /\ (2 x. A) = ((2 x. B) + 1)) -> A = (B + (1 / 2)))
38	37	eleq1d 1537	. . . . . . 7 |- (((A e. ZZ /\ B e. ZZ) /\ (2 x. A) = ((2 x. B) + 1)) -> (A e. ZZ <-> (B + (1 / 2)) e. ZZ))
39	38	exp31 376	. . . . . 6 |- (A e. ZZ -> (B e. ZZ -> ((2 x. A) = ((2 x. B) + 1) -> (A e. ZZ <-> (B + (1 / 2)) e. ZZ))))
40	39	com3l 34	. . . . 5 |- (B e. ZZ -> ((2 x. A) = ((2 x. B) + 1) -> (A e. ZZ -> (A e. ZZ <-> (B + (1 / 2)) e. ZZ))))
41		ibib 589	. . . . 5 |- ((A e. ZZ -> (B + (1 / 2)) e. ZZ) <-> (A e. ZZ -> (A e. ZZ <-> (B + (1 / 2)) e. ZZ)))
42	40, 41	syl6ibr 213	. . . 4 |- (B e. ZZ -> ((2 x. A) = ((2 x. B) + 1) -> (A e. ZZ -> (B + (1 / 2)) e. ZZ)))
43	42	com3r 35	. . 3 |- (A e. ZZ -> (B e. ZZ -> ((2 x. A) = ((2 x. B) + 1) -> (B + (1 / 2)) e. ZZ)))
44	43	imp 350	. 2 |- ((A e. ZZ /\ B e. ZZ) -> ((2 x. A) = ((2 x. B) + 1) -> (B + (1 / 2)) e. ZZ))
45	18, 44	mtod 108	1 |- ((A e. ZZ /\ B e. ZZ) -> -. (2 x. A) = ((2 x. B) + 1))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   /\ w3a 774   = wceq 954   e. wcel 956   =/= wne 1582  (class class class)co 3954  CCcc 5212  0cc0 5214  1c1 5215   + caddc 5217   x. cmul 5219   - cmin 5272   / cdiv 5274  ZZcz 5278  2c2 5916

This theorem is referenced by:  znnenlemOLD 7452

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-nel 1585  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-lt 5227  df-sub 5336  df-neg 5338  df-pnf 5467  df-mnf 5468  df-xr 5469  df-ltxr 5470  df-le 5471  df-div 5680  df-n 5881  df-2 5925  df-n0 6055  df-z 6091

Copyright terms: Public domain