HomeHome Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Related theorems
Unicode version
Theorem zmulclt 6135
Description: Closure of multiplication of integers.
Assertion
Ref Expression
zmulclt |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (M x. N) e. ZZ)
Proof of Theorem zmulclt
StepHypRef Expression
1 nn0mulclt 6078 . . . . . . . . 9 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> (M x. N) e. NN0)
21orcd 272 . . . . . . . 8 |- ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> ((M x. N) e. NN0 \/ -u(M x. N) e. NN0))
32a1i 8 . . . . . . 7 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> ((M x. N) e. NN0 \/ -u(M x. N) e. NN0)))
4 axmulrcl 5254 . . . . . . 7 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> (M x. N) e. RR)
53, 4jctild 600 . . . . . 6 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((M e. NN0 /\ N e. NN0) -> ((M x. N) e. RR /\ ((M x. N) e. NN0 \/ -u(M x. N) e. NN0))))
6 mulneg1t 5431 . . . . . . . . . . 11 |- ((M e. CC /\ N e. CC) -> (-uM x. N) = -u(M x. N))
7 recnt 5293 . . . . . . . . . . 11 |- (M e. RR -> M e. CC)
8 recnt 5293 . . . . . . . . . . 11 |- (N e. RR -> N e. CC)
96, 7, 8syl2an 454 . . . . . . . . . 10 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> (-uM x. N) = -u(M x. N))
109eleq1d 1537 . . . . . . . . 9 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((-uM x. N) e. NN0 <-> -u(M x. N) e. NN0))
11 nn0mulclt 6078 . . . . . . . . 9 |- ((-uM e. NN0 /\ N e. NN0) -> (-uM x. N) e. NN0)
1210, 11syl5bi 208 . . . . . . . 8 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((-uM e. NN0 /\ N e. NN0) -> -u(M x. N) e. NN0))
13 olc 268 . . . . . . . 8 |- (-u(M x. N) e. NN0 -> ((M x. N) e. NN0 \/ -u(M x. N) e. NN0))
1412, 13syl6 22 . . . . . . 7 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((-uM e. NN0 /\ N e. NN0) -> ((M x. N) e. NN0 \/ -u(M x. N) e. NN0)))
1514, 4jctild 600 . . . . . 6 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((-uM e. NN0 /\ N e. NN0) -> ((M x. N) e. RR /\ ((M x. N) e. NN0 \/ -u(M x. N) e. NN0))))
16 mulneg2t 5432 . . . . . . . . . . 11 |- ((M e. CC /\ N e. CC) -> (M x. -uN) = -u(M x. N))
1716, 7, 8syl2an 454 . . . . . . . . . 10 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> (M x. -uN) = -u(M x. N))
1817eleq1d 1537 . . . . . . . . 9 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((M x. -uN) e. NN0 <-> -u(M x. N) e. NN0))
19 nn0mulclt 6078 . . . . . . . . 9 |- ((M e. NN0 /\ -uN e. NN0) -> (M x. -uN) e. NN0)
2018, 19syl5bi 208 . . . . . . . 8 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((M e. NN0 /\ -uN e. NN0) -> -u(M x. N) e. NN0))
2120, 13syl6 22 . . . . . . 7 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((M e. NN0 /\ -uN e. NN0) -> ((M x. N) e. NN0 \/ -u(M x. N) e. NN0)))
2221, 4jctild 600 . . . . . 6 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((M e. NN0 /\ -uN e. NN0) -> ((M x. N) e. RR /\ ((M x. N) e. NN0 \/ -u(M x. N) e. NN0))))
23 mul2negt 5434 . . . . . . . . . . 11 |- ((M e. CC /\ N e. CC) -> (-uM x. -uN) = (M x. N))
2423, 7, 8syl2an 454 . . . . . . . . . 10 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> (-uM x. -uN) = (M x. N))
2524eleq1d 1537 . . . . . . . . 9 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((-uM x. -uN) e. NN0 <-> (M x. N) e. NN0))
26 nn0mulclt 6078 . . . . . . . . 9 |- ((-uM e. NN0 /\ -uN e. NN0) -> (-uM x. -uN) e. NN0)
2725, 26syl5bi 208 . . . . . . . 8 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((-uM e. NN0 /\ -uN e. NN0) -> (M x. N) e. NN0))
28 orc 269 . . . . . . . 8 |- ((M x. N) e. NN0 -> ((M x. N) e. NN0 \/ -u(M x. N) e. NN0))
2927, 28syl6 22 . . . . . . 7 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((-uM e. NN0 /\ -uN e. NN0) -> ((M x. N) e. NN0 \/ -u(M x. N) e. NN0)))
3029, 4jctild 600 . . . . . 6 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> ((-uM e. NN0 /\ -uN e. NN0) -> ((M x. N) e. RR /\ ((M x. N) e. NN0 \/ -u(M x. N) e. NN0))))
315, 15, 22, 30ccased 755 . . . . 5 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> (((M e. NN0 \/ -uM e. NN0) /\ (N e. NN0 \/ -uN e. NN0)) -> ((M x. N) e. RR /\ ((M x. N) e. NN0 \/ -u(M x. N) e. NN0))))
32 elznn0 6104 . . . . 5 |- ((M x. N) e. ZZ <-> ((M x. N) e. RR /\ ((M x. N) e. NN0 \/ -u(M x. N) e. NN0)))
3331, 32syl6ibr 213 . . . 4 |- ((M e. RR /\ N e. RR) -> (((M e. NN0 \/ -uM e. NN0) /\ (N e. NN0 \/ -uN e. NN0)) -> (M x. N) e. ZZ))
3433imp 350 . . 3 |- (((M e. RR /\ N e. RR) /\ ((M e. NN0 \/ -uM e. NN0) /\ (N e. NN0 \/ -uN e. NN0))) -> (M x. N) e. ZZ)
3534an4s 508 . 2 |- (((M e. RR /\ (M e. NN0 \/ -uM e. NN0)) /\ (N e. RR /\ (N e. NN0 \/ -uN e. NN0))) -> (M x. N) e. ZZ)
36 elznn0 6104 . 2 |- (M e. ZZ <-> (M e. RR /\ (M e. NN0 \/ -uM e. NN0)))
37 elznn0 6104 . 2 |- (N e. ZZ <-> (N e. RR /\ (N e. NN0 \/ -uN e. NN0)))
3835, 36, 37syl2anb 455 1 |- ((M e. ZZ /\ N e. ZZ) -> (M x. N) e. ZZ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 3   \/ wo 222   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  (class class class)co 3954  CCcc 5212  RRcr 5213   x. cmul 5219  -ucneg 5273  NN0cn0 5277  ZZcz 5278
This theorem is referenced by:  msqznn 6151  qaddclt 6215  qmulclt 6217  qrecclt 6219  zexpclt 6518  eirrlem2 7339  znnen 7453
This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605
This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-csb 1998  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-opr 3956  df-oprab 3957  df-1st 4069  df-2nd 4070  df-1o 4123  df-oadd 4125  df-omul 4126  df-er 4251  df-ec 4253  df-qs 4256  df-ni 4980  df-pli 4981  df-mi 4982  df-lti 4983  df-plpq 5015  df-mpq 5016  df-enq 5017  df-nq 5018  df-plq 5019  df-mq 5020  df-rq 5021  df-ltq 5022  df-1q 5023  df-np 5066  df-1p 5067  df-plp 5068  df-mp 5069  df-ltp 5070  df-plpr 5144  df-mpr 5145  df-enr 5146  df-nr 5147  df-plr 5148  df-mr 5149  df-ltr 5150  df-0r 5151  df-1r 5152  df-m1r 5153  df-c 5220  df-0 5221  df-1 5222  df-i 5223  df-r 5224  df-plus 5225  df-mul 5226  df-sub 5336  df-neg 5338  df-n 5881  df-n0 6055  df-z 6091
Copyright terms: Public domain