Theorem zfpair2 2780

Description: Derive the abbreviated version of the Axiom of Pairing from ax-pr 2779. See zfpair 2777 for its derivation from the other axioms.

Assertion

Ref	Expression
zfpair2	|- {x, y} e. V

Proof of Theorem zfpair2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-pr 2779	. . . 4 |- E.zA.w((w = x \/ w = y) -> w e. z)
2	1	bm1.3ii 2706	. . 3 |- E.zA.w(w e. z <-> (w = x \/ w = y))
3		dfcleq 1470	. . . . 5 |- (z = {x, y} <-> A.w(w e. z <-> w e. {x, y}))
4		visset 1813	. . . . . . . 8 |- w e. V
5	4	elpr 2424	. . . . . . 7 |- (w e. {x, y} <-> (w = x \/ w = y))
6	5	bibi2i 608	. . . . . 6 |- ((w e. z <-> w e. {x, y}) <-> (w e. z <-> (w = x \/ w = y)))
7	6	albii 999	. . . . 5 |- (A.w(w e. z <-> w e. {x, y}) <-> A.w(w e. z <-> (w = x \/ w = y)))
8	3, 7	bitr 173	. . . 4 |- (z = {x, y} <-> A.w(w e. z <-> (w = x \/ w = y)))
9	8	exbii 1051	. . 3 |- (E.z z = {x, y} <-> E.zA.w(w e. z <-> (w = x \/ w = y)))
10	2, 9	mpbir 190	. 2 |- E.z z = {x, y}
11	10	issetri 1816	1 |- {x, y} e. V

Syntax hints:   <-> wb 146   \/ wo 222  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  Vcvv 1811  {cpr 2410

This theorem is referenced by:  prex 2781  pwssun 2827  fr2nr 2925  xpsspw 3257  funopg 3547  fiint 4559  fiintOLD 4560  brdom7disj 4804  brdom6disj 4805

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-12 968  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pr 2779

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-v 1812  df-un 2050  df-sn 2412  df-pr 2413

Copyright terms: Public domain