Theorem zfnuleu 2702

Description: Show the uniqueness of the empty set (using the Axiom of Extensionality via bm1.1 1460 to strengthen axnul 2704).

Hypothesis

Ref	Expression
zfnuleu.1	|- E.xA.y -. y e. x

Assertion

Ref	Expression
zfnuleu	|- E!xA.y -. y e. x

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem zfnuleu

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zfnuleu.1	. . . 4 |- E.xA.y -. y e. x
2		equid 1124	. . . . . . 7 |- y = y
3	2	nbn3 722	. . . . . 6 |- (-. y e. x <-> (y e. x <-> -. y = y))
4	3	albii 997	. . . . 5 |- (A.y -. y e. x <-> A.y(y e. x <-> -. y = y))
5	4	exbii 1049	. . . 4 |- (E.xA.y -. y e. x <-> E.xA.y(y e. x <-> -. y = y))
6	1, 5	mpbi 189	. . 3 |- E.xA.y(y e. x <-> -. y = y)
7		ax-17 969	. . . 4 |- (-. y = y -> A.x -. y = y)
8	7	bm1.1 1460	. . 3 |- (E.xA.y(y e. x <-> -. y = y) -> E!xA.y(y e. x <-> -. y = y))
9	6, 8	ax-mp 7	. 2 |- E!xA.y(y e. x <-> -. y = y)
10	4	eubii 1385	. 2 |- (E!xA.y -. y e. x <-> E!xA.y(y e. x <-> -. y = y))
11	9, 10	mpbir 190	1 |- E!xA.y -. y e. x

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 146  A.wal 952   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978  E!weu 1378

This theorem is referenced by:  0ex 2706  snex 2745

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380

Copyright terms: Public domain