Theorem zfinf 4626

Description: A standard version of the Axiom of Infinity, using definitions to abbreviate. Axiom Inf of [BellMachover] p. 472. (See ax-inf2 4625 for the unabbreviated version.)

Assertion

Ref	Expression
zfinf	|- E.x((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)

Distinct variable group:   x,y

Proof of Theorem zfinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-inf2 4625	. 2 |- E.x(E.y(y e. x /\ A.z -. z e. y) /\ A.y(y e. x -> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y)))))
2		0el 2296	. . . . 5 |- ((/) e. x <-> E.y e. x A.z -. z e. y)
3		df-rex 1650	. . . . 5 |- (E.y e. x A.z -. z e. y <-> E.y(y e. x /\ A.z -. z e. y))
4	2, 3	bitr 173	. . . 4 |- ((/) e. x <-> E.y(y e. x /\ A.z -. z e. y))
5		sucel 3042	. . . . . . 7 |- (suc y e. x <-> E.z e. x A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y)))
6		df-rex 1650	. . . . . . 7 |- (E.z e. x A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y)) <-> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y))))
7	5, 6	bitr 173	. . . . . 6 |- (suc y e. x <-> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y))))
8	7	ralbii 1667	. . . . 5 |- (A.y e. x suc y e. x <-> A.y e. x E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y))))
9		df-ral 1649	. . . . 5 |- (A.y e. x E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y))) <-> A.y(y e. x -> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y)))))
10	8, 9	bitr 173	. . . 4 |- (A.y e. x suc y e. x <-> A.y(y e. x -> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y)))))
11	4, 10	anbi12i 482	. . 3 |- (((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x) <-> (E.y(y e. x /\ A.z -. z e. y) /\ A.y(y e. x -> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y))))))
12	11	exbii 1051	. 2 |- (E.x((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x) <-> E.x(E.y(y e. x /\ A.z -. z e. y) /\ A.y(y e. x -> E.z(z e. x /\ A.w(w e. z <-> (w e. y \/ w = y))))))
13	1, 12	mpbir 190	1 |- E.x((/) e. x /\ A.y e. x suc y e. x)

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980  A.wral 1645  E.wrex 1646  (/)c0 2280  suc csuc 2950

This theorem is referenced by:  omex 4627

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-12 968  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-inf2 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 981  df-sb 1172  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-nul 2281  df-sn 2412  df-pr 2413  df-suc 2954

Copyright terms: Public domain