Theorem zfcndun 4967

Description: Axiom of Union, reproved from conditionless ZFC axioms.

Assertion

Ref	Expression
zfcndun	|- E.yA.z(E.w(z e. w /\ w e. x) -> z e. y)

Distinct variable group:   x,y,z,w

Proof of Theorem zfcndun

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axunnd 4948	. 2 |- E.yA.z(E.y(z e. y /\ y e. x) -> z e. y)
2		elequ2 1137	. . . . . . 7 |- (w = y -> (z e. w <-> z e. y))
3		elequ1 1136	. . . . . . 7 |- (w = y -> (w e. x <-> y e. x))
4	2, 3	anbi12d 628	. . . . . 6 |- (w = y -> ((z e. w /\ w e. x) <-> (z e. y /\ y e. x)))
5	4	cbvexv 1315	. . . . 5 |- (E.w(z e. w /\ w e. x) <-> E.y(z e. y /\ y e. x))
6	5	imbi1i 186	. . . 4 |- ((E.w(z e. w /\ w e. x) -> z e. y) <-> (E.y(z e. y /\ y e. x) -> z e. y))
7	6	albii 999	. . 3 |- (A.z(E.w(z e. w /\ w e. x) -> z e. y) <-> A.z(E.y(z e. y /\ y e. x) -> z e. y))
8	7	exbii 1051	. 2 |- (E.yA.z(E.w(z e. w /\ w e. x) -> z e. y) <-> E.yA.z(E.y(z e. y /\ y e. x) -> z e. y))
9	1, 8	mpbir 190	1 |- E.yA.z(E.w(z e. w /\ w e. x) -> z e. y)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 954   = wceq 956   e. wcel 958  E.wex 980

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2703  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-reg 4593

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-ral 1649  df-rex 1650  df-v 1812  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-nul 2281  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-op 2416  df-br 2620  df-opab 2667  df-eprel 2832  df-fr 2917

Copyright terms: Public domain